【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学-单元评估检测(十四)课时提能训练-理-新人教A版.doc

温馨【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 单元评估检测(十四)课时提能训练 理 新人教A版

(第十三章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(预测题) 等于(　　)
(A)　　　(B)1　　　(C)　　　(D)
2.用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝(n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时左边应添加的项为(　　)
(A)k2＋1
(B)(k＋1)2
(C)
(D)(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
3.极限f(x)存在是函数f(x)在点x＝x0处连续的(　　)
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4. ＝2，则a的值为(　　)
(A)1 (B)－1 (C)±1 (D)2
5.已知函数f(x)＝在点x＝2处连续，则常数a的值是
(　　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
6.设函数f(x)在x＝1处连续，且＝2，则f(1)等于(　　)
(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2
7.(2012·贺州模拟)在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝，且已知此数列有极限，则an等于(　　)
(A)－2 (B)－1 (C)0 (D)1
8.(2012·柳州模拟) 等于(　　)
(A)3 (B) (C) (D)6
9.已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若{log2an}是公差为－1的等差数列，且Sn＝，那么a1的值为(　　)
(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)
10.(2012·钦州模拟)设Sn是无穷等比数列的前n项和，若Sn＝，那么a1的取值范围是(　　)
(A)(0，) (B)(0，)
(C)(0，)∪(，) (D)(0，)∪(，1)
11.设正数a，b满足(x2＋ax－b)＝4，则等于(　　)
(A)0 (B)
(C) (D)1
12.函数y＝f(x)在x＝x0处连续，且f(x)＝a2－2，f(x)＝2a＋1，其中a＞0，则f(x0)等于(　　)
(A)－1 (B)7 (C)－1或7 (D)3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(易错题) ＝　　　　　.
14.在数列{an}中，a1＝9，且对于任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－3＝0上，则＝　　　　.
15. ＝　　　　.
16.如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个圆的面积之和，则Sn＝　　　　.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
18.(12分)已知等差数列前三项为a,4,3a，前n项的和为Sn，Sk＝2 550.
(1)求a及k的值；
(2)求(＋＋…＋).
19.(12分)设函数f(x)＝

f(x)在x＝0处连续，求实数a、b的值.
20.(12分)已知f(x)＝a·bx(a，b为常数)的图象经过点P(1，)和Q(4,8).
(1)求f(x)的解析式；
(2)记an＝log2f(n)，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和，求.
21.(12分)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且有(－qn)＝，求首项a1的取值范围.
22.(12分)在边长为l的等边△ABC中，⊙O1为△ABC的内切圆，⊙O2与⊙O1外切，且与AB、BC相切，…，⊙On＋1与⊙On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去，记⊙On的面积为an(n∈N*).

(1)证明{an}是等比数列；
(2)求(a1＋a2＋…＋an)的值.

答案解析
1.【解题指南】对分子、分母进行因式分解，约去x－1，然后代入求解.
【解析】选A. ＝＝＝.
2.【解析】选D.∵当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
∴比较上述两个式子，n＝k＋1时，等式左边是在假设n＝k时的等式成立的基础上，等式的左边加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.
3.【解析】选B.f(x)在x＝x0处连续⇒f(x)存在，
f(x)存在f(x)在x＝x0处连续.
∴ 极限f(x)存在是函数f(x)在点x＝x0处连续的必要而不充分条件.
4.【解析】选A.原式＝＝＝1＋a.由题意，知1＋a＝2，因此a＝1.
5.【解题指南】本题考查函数连续的定义，若函数在某一点处连续，则必须具备函数在此点的左极限等于右极限等于在该点的函数值.
【解析】选B.∵ f(x)＝＝(x＋2)＝4，f(x)＝f(2)＝a＋log22＝a＋1，由函数的连续性定义知a＋1＝4，可得a＝3.
6.【解析】选B.依题意可知f(x)是含有(x－1)项的多项式，所以f(1)＝0.
7.【解析】选C.由an存在，知an＝an－1，
令an＝b，∵an＝，
∴an＝＝.
∴b＝，∴b＝0.∴an＝0.
8.【解题指南】解决本题的关键是对C＋C＋C＋…＋C进行化简，技巧在于利用C＝C.
【解析】选B.∵C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C，
n(C＋C＋C＋…＋C)＝n，
＝＝＝.
9.【解析】选B.由条件可知log2an＝log2a1－(n－1)
＝log2，
故an＝，则Sn＝＝，a1＝.
10.【解析】选C.由Sn＝＝，解得q＝1－4a1，由题意知|q|<1且q≠0，得|1－4a1|<1，且|1－4a1|≠0，解之得a1∈(0，)∪(，).
【方法技巧】数列极限问题的逆向思维
(1)关于qn类型的逆运算问题，一定要考虑qn存在的条件及分析已知极限中的值，看是否要先变形，再逆运算求待定问题.
(2)逆用无穷等比数列(0<|q|<1)的各项和公式求范围问题，应注意一个无穷等比数列的各项和存在的充要条件是其公比q满足0<|q|<1.
【变式备选】在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足Sn＝，那么a1的取值范围是(　　)
(A)(1，＋∞) (B)(1,4)
(C)(1,2) (D)(1， )
【解析】选D.由题意，知Sn＝，
∵Sn＝，∴.
∴a1＝.∴1<a1<，0<a1<1(舍去).
11.【解析】选B.
(x2＋ax－b)＝4⇒4＋2a－b＝4⇒2a＝b，
∴＝.
∴＝＝
＝.
12.【解题指南】根据题意可以得到f(x)＝f(x)＝f(x0)，即可列出关于a的方程，便可得解.
【解析】选B.∵函数f(x)在x＝x0处连续，
∴f(x)＝f(x)＝f(x0)，即a2－2＝2a＋1.
∵a＞0，∴a＝3.
∴f(x0)＝7.
13.【解析】原式＝
＝
＝＝.
答案：
【误区警示】看到，盲目采用分子有理化或分母有理化，而无法求解，或半途而废，要看到分子、分母中都含有根式，一定要利用分子、分母同时有理化.
14.【解析】由题意，得－＝3，
∴{}是以＝3为首项，以d＝3为公差的等差数列.
∴＝＋(n－1)×3＝3n(n∈N*).
∴an＝9n2(n∈N*).
∴＝＝＝9.
答案：9
【方法技巧】求数列极限的常用方法
(1)分子分母同时除以n的幂；
(2)利用有理化因式变形；
(3)求和式极限时一般先求和，然后再求极限；
(4)求含有参数式子的极限时，注意对参数进行分类讨论，分别确定极限是否存在；
(5)熟记三个基本极限：＝0；C＝C(C是常数)；qn＝0(|q|<1).
15.【解析】＝(＋)cosx
＝(＋)cosπ＝－2.
答案：－2
16.【解题指南】此类问题属于无穷递缩等比数列问题，通过对图形分析，构造等比数列，求出首项及公比，利用Sn＝求解.
【解析】设第n个正六边形的外接圆的半径为rn，面积为an，则＝cos30°＝，从而an＋1＝an，由a1＝πr2，q＝，知{an}是以πr2为首项，以为公比的等比数列.所以Sn＝＝＝4πr2.
答案：4πr2
17.【解析】(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此可猜想an＝(n∈N*).
(2)下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝＝1，猜想成立.
②假设n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝，
当n＝k＋1时，已知Sk＝2k－ak，①
Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ②
由②－①可得ak＋1＝2－ak＋1＋ak，
∴ak＋1＝1＋＝1＋＝＝，即当n＝k＋1时猜想也成立.
∴数列{an}的通项公式an＝(n∈N*).
【方法技巧】归纳推理的思维方法
(1)在遇到求解某些数学问题而不能直接找到解题途径时，可先考查几个连续的初始特例，归纳出规律，猜想结论，这是关键，规律的发现要凭借经验，有时还要合理变形.
(2)解决问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明.
【变式备选】已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝(n∈N*)且a1＝.
(1)求a2、a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
(3)求Sn.
【解析】(1)由a2＝，得a2＝，
由a1＝，a2＝，得a3＝，
得a3＝.
(2)猜想an＝(n∈N*).
证明：①当n＝1时，显然成立.
②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝，
则n＝k＋1时，ak＋1＝，
得Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，同时Sk＝k(2k－1)ak＝.
两式相减，得ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，
即k(2k＋3)ak＋1＝.
∴ak＋1＝
＝，
即n＝k＋1时，猜想成立.
所以数列{an}的通项公式
an＝(n∈N*).
(3) Sn＝[＋＋…＋]＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝.
18.【解题指南】(1)由已知条件求出a及公差d，然后利用前n项和公式Sn＝na1＋求出k的值；(2)采用裂项相消法求和后再求极限.
【解析】(1)设该等差数列为{an}，
则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2 550.
由已知有a＋3a＝2×4，解得首项a1＝a＝2，
公差d＝a2－a1＝2.
代入公式Sk＝ka1＋d，
得k×2＋×2＝2 550，
∴k2＋k－2 550＝0，
解得k＝50，k＝－51(舍去)，
∴a＝2，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋d得Sn＝n(n＋1)(n∈N*)，
＋＋…＋＝＋＋…＋
＝(－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－，
∴(＋＋…＋)＝(1－)＝1.
19.【解析】f(x)＝(－1)
＝(－1)＝＝1，
f(x)＝(－1)
＝
＝＝，
∵f(x)＝f(x)，∴＝1，即b＝2.
又∵f(x)＝f(x)＝f(x)＝1，
且f(x)＝f(0)，即a＝1.综上，a＝1，b＝2.
20.【解析】(1)∵f(x)的图象经过点P(1，)和Q(4,8)，
∴，解得，
∴f(x)＝×4x＝22x－5.
(2)an＝log2f(n)＝log222n－5＝2n－5.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－5－(2n－5)＝2，
∴{an}是以－3为首项，以2为公差的等差数列.
∴Sn＝＝n2－4n(n∈N*).
∴＝＝.
21.【解析】∵(－qn)＝，
∴0＜|q|＜1或q＝1.
当0＜|q|＜1时，即有0＜|4a1－2|＜1.
解之，得<a1<，且a1≠；
当q＝1时，(－1)＝，
即－1＝，得a1＝.
故a1的取值范围为<a1<且a1≠或a1＝ .
22.【解析】(1)记rn为⊙On的半径，则r1＝ltan30°＝l，＝
sin30°＝，
∴rn＝rn－1 (n≥2).
于是a1＝πr＝，＝()2＝，
故{an}成等比数列.
(2)∵an＝()n－1a1，
∴ (a1＋a2＋…＋an)＝＝.
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