数学联赛一九九七年试题(含答案).doc

一 九 九 七 年
第 一 试
一、选择题
1．（C）
（1）、（2）、（4）是错误的命题，故选（C）.
2．（C）

所以选（C）.
3．（A）
∵

≤27.
∴选（A）
4．（D）
因为上述任意三个边长都不能构成同一个三角形的三条边长，所以至少要有7个点.
5．（A）
延长BA，CD交于点H，
∵ ，，
∴ ，
在中，M,N,H三点共线，
，，
∴ ，
故 ，.
6．（B）
如图，延长BP交AA1于，过P作交AA1于，过作交BB1于D.
∵ ，
∴ .

∴ .
∵
=17-16=1，
∴ .
∴ .
由勾股定理 .
即 .
二、填空题
1．
由 ， ∴，
.
2．13
∵ ，
又 ，，
∴ ≤b≤，
b可取到的整数值为-1，0，1，…，11共有13个.
3．≤S≤
∵ , ①
. ②
①×3+②×5,得 ，
①×2-②×3,得 .
由 21+5S≥0得 S≥,
14-3S≥0得 S≤.
故 ≤S≤. ③
反之，若S满足③，易知有满足①，②的a,b存在，所以
≤S≤.
4．63
不妨设x为奇数，y为偶数，因为的个位数字是7，因此,的个位数字必是1,6;x,y的个位数字必是1,4或1,6或9,4或9,6.又，则x,y除以4的余数必为1,0.由知，因此x可能值为1,9;21,29;41.经检验，仅当时，有，使
，
29+34=63.
第 二 试
一、证明
∵ ，
故

.
∵ PC=PD,PB公用，
故 ≌，
∴ BC=BD.
又∵ ，
故 ，
∴ .
二、由方程
得 ,， ①
从条件
，
. ②
将①代入②，有
， ③
即 ， ∵，
故 . ④
由判别式Δ≥0得
≥16ab. ⑤
将③代入⑤，有
≤4. ⑥
由⑤,⑥可知，满足条件的(a,b)只能是(1,0)或(0,-1).
三、n的最大可能值是9.
先证能被3整除.
事实上，
，
∴ 是3的倍数.
设a,b被3除后的余数分别为和，则,.
若，则,或者，此时，必是3的倍数，即c为合数，矛盾.
故，则或者，此时必为3的倍数，从而是9的倍数.
再证9是最大的.
∵ 中，，
而 中，.
.
因此，9是最大可能的值.