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特殊平行四边形及矩形的题

一、 矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（也就是长方形）
2、 性质：
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独 特的性质：
① 边的性质：对边平行且相等。 ③ 对角线性质:对角线互相平分且相等。
② 角的性质:四个角都是直角。④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形.
3、 判定定理：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(1）对角线相等的平行四边形是矩形。
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(用矩形的性质推得)
(直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半.）
二、 菱形
1、定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、 性质：
菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：
① 边的性质：对边平行且四边相等。 ② 角的性质：邻角互补，对角相等。
③ 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角。
④ 对称性：菱形是中心对称图形,也是轴对称图形。
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半.
注：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半。
3．判定定理：（1）:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(3）：四边相等的四边形是菱形。
三、正方形
1．定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2．性质:
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
① 边的性质：对边平行，四条边都相等。② 角的性质：四个角都是直角。
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角。
④ 对称性:正方形是中心对称图形，也是轴对称图形。
3．判定定理
（1）：有一组邻边相等的矩形是正方形。(2）：有一个角是直角的菱形是正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系:

题型一：三角形斜边的中线
1． 直角三角形两直角边长为5和12,则此直角三角形斜边上的中线的长(　　）
A．5 B．6 C．6。5 D．13
2． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2,AC=3， 则BC的长是（ )
A。2 B.3 C。4 D.
3、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积是( ）
4(1）如图，在RT△ABC中,D为AB的中点，则△BCD是（　)
（2）如图，在△ABC中，且∠A=30°，D为AB的中点，∠B=2∠A，则△BCD 是（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
5．如图，在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点,连接AE，若AE=6.5，AD=5，则AC=( ）△ABE的周长是（ )
6． 一个直角三角形斜边上的中线长为2，周长为，则此直角三角形的面 积为（ ）
7． 如图,已知AD是△ABC的中线，∠ADC=45°,把△ADC绕着点D逆时针旋转45°到△ADE，连接BE，若BC=6cm．
(1）求BE的长;
（2）求四边形BDAE的面积．

题型二：(矩形的概念）
1。矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．
2.矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．
3.矩形的判定:一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形;有______个角是直角的四边形是矩形．
4。矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）
A．对角线相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对边相等
（矩形的性质）
1、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2，则矩形的对角线AC的长是(　　)
A．2 B。4 C. D.
2． 已知AC为矩形ABCD的对角线,则图中∠1与∠2一定不相等的是(　　）
A。．
B．
C．
D．
3．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有(　　）
A．6对
B．5对
C．4对
D．3对
4、 如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′=30°，则∠AED′等于(　　)

A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF，若CD=6，则AF等于（　　）
A。 B。 C. D。8

6．已知：如图,在矩形ABCD中，E,F,G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2,AD=4，则图中阴影部分的面积为(　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
7． 矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和5cm,则矩形的周长为（　　）
A．16cm
B．22cm或26cm
C．26cm
D．以上都不对
8、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为（ ）
9、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2；（填“＞"或“＜”或“=”）

10、如图，矩形ABCD中,AC与BD交于点O，BE⊥AC,CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE=CF．

11、如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AD=DE，AF⊥DE，垂足为F．
求证：AF=AB．

12、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°,试求∠COE的度数．

(矩形的判定）
1、如图,四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　）
A．AB=CD
B．AD=BC
C．AB=BC
D．AC=BD

2． 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(　　)
A．AB∥DC
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．AB=DC
3、下列命题中错误的是（　　）
A． 平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形
4、 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,其中正确的是（　　)
A． 测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中四边形的三个角都为直角
5．在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O，从 ①AB=CD；②AB∥CD;③OA=OC;④OB=OD;⑤AC=BD；⑥∠ABC=90°这六个条件中，
可选取三个推出四边形ABCD是矩形,如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：（ ）和( ）
6．如图，已知MN∥PQ,EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D,则四边形ABCD是（ ）
7、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

8、如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE,连接AD，EC．
(1）求证:△ADC≌△ECD；
（2)若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形．

9.如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于,证明：四边形是矩形．