2014-2015学年第二学期迎南通市二模(六)苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷.doc

2014~2015学年第二学期迎南通市二模模拟试卷（六）
一、填空题
1.已知集合，则 .
2.已知为虚数单位，则 .
3.已知函数的最小正周期是，则正数的值为 .
4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 .
5.已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 .
开始
输入a,b
a > 8
a a+b
输出a
结束
Y
N
6.运行如图所示的流程图，如果输入，
则输出的的值为 .
7.以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，
离心率为2的双曲线标准方程为 .
8.设，则以为坐标
的点落在不等式所表示的平面区域内的
概率为 .
9.已知函数的定义域是，
则实数的值为 .
10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 .
A
D
F
E
B
C
11.如图，在中，已知，
点分别在边上，且，
点为中点，则的值为 .
12.已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .
13.已知圆，直线为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点A的横坐标的取值范围是 .
14.已知为正实数，且，则的最小值为 .
二、解答题
15.已知向量，且共线，其中.
（1）求的值；
（2）若，求的值.

16.如图，在正方体中，分别是中点.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
求证：（1）∥平面；
（2）平面.

17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.
（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
A
P
Q
B
C
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

18.如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.
（1）求直线AB的方程；
P
N
M
B
O
A
x
y
E
（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OMON为定值.

19.已知函数，其中为自然对数底数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.

20.已知数列中.
（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.

2014~2015学年第二学期迎南通市二模模拟试卷（六）
数学Ⅱ 附加题部分

21.B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知矩阵，A=，向量，求向量，使得.

C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数a的值.

22．（本小题满分10分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，.
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为.

23、（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）.
（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求X的概率分布列及数学期望E（X）.
（2）若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.

苏州市2015届高三调研测试
数学Ⅰ试题 2015．1
参考答案与评分标准
1．(－2，1] 2．1 3．6 4．3 5．2
6．9 7． 8． 9． 10．π
11．4 12． 13．[1,5] 14．
15．解 （1）∵a∥b，∴，即． ………………………………4分
∴． ………………………………………………7分
（2）由（1）知，又，∴， …………9分
∴，
∴，即，
∴，即， ………………………………………………………12分
又，∴． ……………………………………………………………14分

16．证明：（1）连结A1D，
∵ E，F分别是AD和DD1的中点，∴ EF∥AD 1． …………………………………2分
∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，
∴ AB∥D1C1，AB=D1C1．
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1 ………………………………………4分
∴ EF∥BC1．
又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，
∴ EF∥平面AB1D1． ……………………………………7分
（2）连结AC，则AC⊥BD．
∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，
∴ AA1⊥BD．
又，∴BD⊥平面AA1C，
∴ A1C⊥BD． ……………………………………………11分
同理可证A1C⊥BC1．
又，∴A1C⊥平面C1BD． ……………………………………………… 14分

17．解 设米，米．
（1）则，的面积
． …………………………………………………………3分
∴S．
当且仅当时取“=”． …………………………………………………………6分
（注：不写“＝”成立条件扣1分）
（2）由题意得，即． …………………8分
要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以

（） ………………………………………11分
当时，有最小值，此时． …………………………13分
答：（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；
（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分

18．解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．
代入椭圆方程得，即，
解得或（舍）． ………………………………………………3分
所以A（，），
故直线AB的方程为． …………………………………………………6分
（2）设，则，即．
设,由A，P，M三点共线，即，
∴，
又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，……………………………9分
设，由B，P，N三点共线，即，
∴，
点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标． …………………………12分
所以OM·ON==＝2
====．…………………… 16分

19．解：（1）当时，，，， ………………2分
∴函数在点处的切线方程为，
即． ……………………………………………………………………4分
（2）∵，
①当时，，函数在上单调递增；………………………………6分
②当时，由得，
∴时，，单调递减；时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． ……………………………………9分
（3）由（2）知，当时，函数在上单调递增，
∴不可能恒成立； ………………………………………………………………10分
当时，，此时； ………………………………………………………11分
当时，由函数对任意都成立，得，
∵，∴ ………………………………13分
∴，
设，∴ ，
由于，令，得，，
当时，，单调递增；时，，单调递减．
∴，即的最大值为，
此时． ………………………………………………………………… 16分
20．解：（1）设，
因为
． …………………………………2分
若数列是等比数列，则必须有（常数），
即，即， …………………5分
此时，
所以存在实数，使数列是等比数列………………………………………6分
（注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分）

（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，
故，即，…………………8分
由，得，……10分
所以，

，………………………………………………………………12分
显然当时，单调递减，
又当时，，当时，，所以当时，；
，
同理，当且仅当时，．
综上，满足的所有正整数为1和2．…………………………………………… 16分