最优控制与滤波作业.doc

最优控制与滤波作业题
·变分学
1． 求泛函，的极值曲线。
2． 已知线性系统的状态方程
其中
给定，，求，使性能指标为最小。
3． 受控系统的状态方程、初始条件和目标集分别为

试写出使为最小的必要条件，其末端时间是可变的。
4． 已知受控系统，试求和tf，使系统在tf时刻转移到坐标原点，且使为最小。
5． 已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为

求最优控制，使
a) ，
b) ，
c) ，
d) ，，
e) 为最小。
注：其中a), b)求最优解，c), d),e)只需写出必要条件。

·最小值原理
1． 设受控系统为，，，试写出在约束条件下，系统由初始条件转移到目标集：，，且使性能指标为最小的必要条件，其中未定。
2． 考虑二阶系统 。 控制约束为，试确定将系统在时刻转移到零状态，且使性能指标最小的最优控制，其中未定。

·最优时间
1． 已知受控系统，试求满足约束条件，将系统由任意给定的初态转移到坐标原点的时间最优控制。

·LQ
1． 已知一阶受控系统。性能指标函数取为：
，试求使性能指标J为最小的最优控制律。
2． 一阶受控系统。性能指标函数取为：
，试求使J为最小的最优控制律。
3． 设线性系统及二次型性能指标分别为，，试求最优控制律。
4． 设线性系统的状态方程为：，初始条件为：
，试求最优控制，使性能指标:

取极小值，并证明Riccatti方程及终端条件分别为：
，
式中;F(t)≥0对称, R(t)>0对称,
Q(t)-M(t)R-1(t)MT(t)≥0对称.
5． 设系统x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)为，其中，:
（1） ，自由，求使J最小的最优控制序列；
（2） 时，求使J最小的最优控制序列；
（3） 最小的最优控制律。
·滤波
1． 分析如下系统，
其中x为标量，为1维零均值高斯白噪声序列，其协方差矩阵大于零且有界。假设x(0)为零均值高斯随机向量且独立于，且其方差矩阵是任意大的正数，即。试利用Kalman滤波公式证明：
，。

2. 设标量系统，其中模型噪声和量测噪声为互不相关的零均值高斯白噪声序列，即
，，， ,
， ,
已知初始状态的统计特性为：，，且与都互不相关。，，。
试求：（1）最优滤波估计和；
（2）稳态滤波增益与滤波方程。
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