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相遇与追及专题
编写 李占兴 审核 蔡玉科
自主学习

追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。
一、追及和相遇问题的特点
1、相遇的物体必然存在以下两个关系——位移关系和运动时间关系
⑴位移关系：若甲乙同地出发，相遇时 ；
若甲在乙前Δs，则相遇时位移关系 。
⑵时间关系：若甲乙物体同时出发，相遇时运动时间关系为 ；
若甲比乙早出发Δt，则运动时间关系为 。
要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。
2、相遇与追及问题中的临界条件
要充分挖掘题目中的隐含条件，如：刚好、恰好、最多、至少等字眼往往对应一个临界状态。物体间能否追上、追不上、能否碰撞或（两者）距离最大、最小的临界条件是 ，这也是分析判断此类问题的切入点。
⑴物体A追上物体B：开始时，两个物体相距s0，则A追上B时，位移关系满足 ，速度关系满足 。
⑵物体A追赶物体B：开始时，两个物体相距s0，要使两物体恰好不相撞，位移关系满足 ，速度关系满足 。
⑶追击过程的距离极值问题
①在追击过程中，当A，B速度关系满足 时，A，B俩物体之间达到距离的极值，可能为最大或最小，具体问题具体分析。
②加速运动物体A追赶前方物体B，追上之前A，B速度关系满足 时，距离最大；
③减速运动的物体A追赶前方(匀速或加速)物体B，若没追上，A，B速度关系满足 时，距离最小。
二、追及和相遇问题的求解方法
1、解题步骤
⑴分析各个物体的运动特点；
⑵画出运动过程图示意图；
⑶列位移方程；
⑷根据各物体的运动特点找出运动的时间关系、速度关系、位移关系；
⑸解方程，必要时讨论结果是否符合实际。
2、解题方法
方法1、物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，在头脑中形成物体运动关系的图景，并画出两物体的位移、时间关系示意图，找出各个物理量之间的关系，列方程求解。
方法2、函数极值法：因为在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法．
方法3、 图象法：用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇，不相交则没有相遇；用速度图象求解，将两者的速度—时间图象画在同一坐标系中，然后利用图象求解。
方法4、判别式法：设在t时刻两物体相遇，根据几何关系列出关于t的方程一元二次方程，用判别式进行讨论，若＞0，方程有两个不同解，相遇两次；若＝0，方程只有一个正实数解，两个物体恰好相遇或碰撞；若＜0，方程无正实数解，两物体不可能相遇。
典例剖析

例1、 一辆汽车以v1 = 10 m/s速度行驶，司机发现正前方s0 ＝80m处有一自行车以v2 = 4m/s速度与汽车同向行驶，汽车司机以a ＝0.25m/s2的加速度刹车，这时自行车速度仍保持不变，由计算判断是否会发生车祸．
解法一（物理分析法）：假设汽车以加速度大小为a' 做匀减速运动，经过时间t ，当速度减少到自行车相等时，恰与自行车相撞，则有 ，
代入数据得a '＝0.225 m/s2 ， a ' < a ，故两车不会相撞．
解法二（函数极值法）：t时刻两车间的距离为 Δs ，则
0
24
4
10
v/m.s-1
t/ s
自行车
汽车
s = (s2 + s0 ) – s1 = (4t +80) – (10 t -t 2) =
当t = 24 s时, s有极小值8m ，此时两车相距最近，且自行车在前，故两车不会相撞．
解法三（图像法）：如图所示：汽车速度减小到和自行车相等时，所用时间为，这段时间内汽车比自行车多走的位移为图中阴影部分的面积< s0，此后汽车速度就比自行车小了，故两车不会相撞．
解法四（判别式法）：汽车以a = 0.25m/s2的加速度做匀减速运动，自行车以4m/s的速度做匀速直线运动，设t时刻两车相撞，相撞时两车的位置坐标相同，应有
代入数据得4t +80 = 10 t - t 2 整理方程得 t 2 - 4 t + 640 = 0 ，
其判别式 = (-48)2 - 4640 = -356 < 0 . t无实数解，故两辆车不会相撞．
点评：掌握了习题“一题多解”的思路，可以使解题多了一些方法，许多试题都是由经典习题通过变换情境、改变条件等方式变形而来，本例题所用“一题多解”方法可以延伸到后续章节的学习中，在平时不要陷入题海，盲目做题，应善于将解题方法举一反三，不断总结归纳，这样可以提高学习效率，起到事半功倍作用。
例2、平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200m处以5m/s的速度做同方向的匀速运动，问：
(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
解析：画出示意图，如图所示，甲追上乙时，x甲＝x0＋x乙，且t甲＝t乙(追及条件)，根据匀变速直线运动、匀速直线运动的位移公式列出方程，即能解得正确的结果．
(1)设甲经过时间t追上乙，则有x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t，根据追及条件，有a甲t2＝x0＋v乙t，代入数值，解得t＝40s和t＝－20s(舍去)
这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40m/s＝20m/s
甲离出发点的位移x甲＝a甲t2＝×0.5×402m＝400m.
(2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当v甲＝v乙，甲、乙之间的距离达到最大值．由a甲t＝v乙，得t＝＝s＝10s.即甲在10s末离乙的距离最大．
xmax＝x0＋v乙t－a甲t2＝200m＋5×10m－×0.5×102m＝225m.
点评：用匀变速直线运动规律解答有关追及、相遇问题时，一般应根据追及的两个物体的运动性质，结合运动学公式列出两个物体的位移方程．同时要紧紧抓住追及相遇的一些临界条件，如：当速度较小的物体匀加速追速度较大的物体时，在两物体速度相等时两物体间距离最大；当速度较大的物体匀减速追速度较小的物体时，在两物体速度相等时两物体间的距离最小．
例3、 火车以对地速度v2匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以对地速度v1做匀速运动，且v2>v1，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？
【解析】（物理分析法）：后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至与v1相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度后，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。
若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为与前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为与前车速度相等时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小等于某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度。
设经时间t，恰追上而不相撞，则：
解之可得 ，所以 时，两车不会相撞。
例4、 某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面7m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以2m/s2的加速度减速前进，此人需要多长时间才能追上汽车？
【解析】人追上汽车时应满足两者位移相等。由于汽车在人前方s0＝7m处，设自行车速度v1＝4m/s，汽车初速度v0＝10m/s，加速度a＝2m/s2，人经过t时间恰好追上，
则有： 　　解得：t＝7s，负值舍去。
以上解法表面上看没有问题，但实际上7s不是本题的正确结果。因为汽车停下需要时间，所以上面所求是认为汽车速度减为零后继续反向运动再相遇的，因此，人追上汽车，应该是在汽车停下以后．
汽车停下经过距离为：． 人追上汽车时间：
【点评】追击相遇问题中，利用位移关系公式解出结果后需要分析结果是否符合实际，像汽车刹车（或物块在地面摩擦力作用下做匀减速运动）这类匀减速运动，当速度一旦减小到零不可能返回。遇到这类追击问题一定要先判断速度v减为零所需时间。若v＝0前已经追上，可用位移关系求解，否则不能。
跟踪训练

1．汽车甲沿着平直的公路以速度 v0 做匀速直线运动，若它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车，根据上述已知条件（ ）
A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度
B．可求出乙车追上甲车所走的路程
C．可求出乙车从开始启动到追上甲车时所用的时间
D．不能求出上述三者中的任何一个
2．汽车正在以 10m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方x处有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的运动，汽车立即关闭油门做a = - 6m/s2的匀变速运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为 （ ）
A．9.67m B．3.33m C．3m D．7m
3．某人骑自行车，v1=4m/s，某时刻在他前面7m处有一辆以v2=10m/s行驶的汽车开始关闭发动机，a=2m/s2，问此人多长时间追上汽车 （ ）
A．6s B．7s C．8s D．9s
4．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为V，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中行驶距离S，在上述过程中要使两车不相撞，则两车在匀速运动时，保持的距离至少应为：　
A．S　　　B． 2S　　　C． 3S　　　D． 4S
5．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标，它们的位移x（m）随时间t（s）变化的规律为：自行车为，汽车 为，则下列说法正确的是 （ ）
A．汽车作减速直线运动，自行车作匀速直线运动
B．自行车追上汽车前，8s末汽车和自行车相距最远
C．开始经过路标后较小时间内自行车在前，汽车在后
D. 当自行车追上汽车时，它们距路标96m
6．甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的图中（如图），直线分别描述了甲乙两车在秒的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（ ）
0
5
10
10
15
20
5
t/s
v/(m/s)
b(乙)
a(甲)
A．在秒内两车逐渐靠近
B．在秒内两车逐渐远离
C．在秒内两车的位移相等
D．在秒时两车在公路上相遇
0
1
2
3
4
30
60
－30
甲
乙
v/(km·h－1)
t/h
7．时，甲乙两汽车从相距的两地开始相向行驶，它们的图像如图所示，忽略汽车掉头所需要时间。下列对汽车运动状况的描述正确的是（ ）
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第2小时末，甲、乙两车相距
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲、乙两车相遇
8．如图所示的是向同一方向作直线运动的两物体的v-t图像，从图中可知 （ ）
0
10
20
15
30
甲
乙
v/(m·s－1)
t/s
A．甲物体的加速度大于乙物体的加速度
B．在10s末甲物体追上了乙物体
C．在20s末甲物体追上了乙物体 ;
D．甲追上乙物体时，两物体的速度相等
9．甲、乙两物体在同一水平轨道上，一前一后相距S，乙在前，甲在后，某时刻两者同时开始运动，甲做初速度为v0，加速度为a1的匀加速运动，乙做初速度为零，加速度为a2的匀加速运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是  （    ）
A．a1=a2，可能相遇一次     B．a1<a2，可能相遇二次
C．a1>a2，可能相遇二次     D．a1<a2，只能相遇一次
10．甲乙两车在一平直道路上同向运动，其图像如图所示，图中ΔOPQ和ΔOQT的面积分v
t
甲
乙
Q
P
O
T
别为S1和S2（S2>S1）。初始时，甲车在乙车前方S0（）
A．若S0= S1+ S2，两车不会相遇
B．若S0< S1，两车相遇2次
C．若S0=S1，两车相遇1次
D．若S0= S2，两车相遇1次
11．A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20 m/s的速度做匀速运动．经过12 s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？

12．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h 以内．问：
(1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2）警车发动后要多长时间才能追上货车？

13．甲车以20m/s行驶，司机发现在同一平直公路上前方500m处乙车以10m/s同向匀速行驶，为避免撞车，甲车司机立即刹车，求：甲车司机刹车时a的最小值。

14．为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持一定的距离。已知某高速公路的最高限速为40m/s。假设前方汽车突然停止，后面司机发现这一情况，经操纵刹车到汽车开始减速经历的时间（即反应时间）为0.5s。刹车时汽车的加速度大小为4m/s2。求该高速公路上行驶的汽车的距离至少应为多少？（g取10m/s2）

15．处于平直公路上的甲、乙两物体相距S，甲以速度v1做匀速直线运动，乙同时在甲的前方开始做初速为零、加速度为a的匀加速直线运动，甲乙两物体的运动方向相同，问：v1须满足什么条件时，甲、乙⑴相遇一次；⑵相遇两次；⑶不能相遇。

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临颍一高内部资料 注意保存