数学实验矩阵的运算.docx

数学实验报告

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实验四 矩阵的运算
（一）投入产出分析
一．实验目的
1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；
2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩阵等的含义。
二．问题描述
设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示
表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表

产出
农业
制造业
服务业
外部需求
总产出

投
入
农业
15
20
30
35
100
制造业
30
10
45
115
200
服务业
20
60
0
70
150
初始投入
35
110
75

总投入
100
200
150

根据表回答下列问题：
（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？
（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?
三.实验过程
1．问题（1）的求解
（1）求直接消耗矩阵A
根据直接消耗的计算公式
aij=xij/xj
和各部门中间需求;
xnan
运行如下代码可得直接消耗系数表。
X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];
X_colsum=[100 200 150];
X_rep=repmat(X_colsum,3,1)
A=X./ X_rep
运行结果为：
A =
0.1500 0.1000 0.2000
0.3000 0.0500 0.3000
0.2000 0.3000 0
（2）求解
根据公式
X=(I-A)-1y
在运行如下代码
y=[50;150;100];
n=size(y,1);
W=eye(n)-A;
X=W\y
运行结果为
X =
139.2801
267.6056
208.1377
即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。
2．问题2求解
设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为
Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy
利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB代码可得问题的结果：
dx=inv(W)
运行结果:
dx =
1.3459 0.2504 0.3443
0.5634 1.2676 0.4930
0.4382 0.4304 1.2167
根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.3443,0.4930，1.2167个单位。
四．实验总结
投入产出的理论依据，主要是矩阵运算和逆矩阵，投入和产出分析在编制和修订宏观计划、开展紧急预测和项目效果预测、研究价格水平及其变动影响，研究产业结构及其关联程度，投资对消费的带动分析等方面对会有很重要的应用。

（二）Hill密码的加密、解密与破译
一、实验目的
1. 复习线性代数, 矩阵, 线性空间与线性变换等概念和运算.
2. 熟悉Hill密码体制的加密, 解密和破译过程.
3. Hill密码体制的加密, 解密和破译过程的MATLAB编程实践.
二、问题描述
对明文为“Mr Hill made this code”,利运用不同的密匙矩阵加密矩阵，实现Hill加密与解密过程。
三．实验过程
（1）模型建立于问题分析
简单起见，为了使明文参与矩阵运算，建立如下表格2-1：
A
B
…
Y
Z
空格
句号
1
2

25
26
0
27
表2-1 26个英文字母、空格、句号与数字之间的对应关系
设明文为M=（m1, m2,…,mi）T，密匙矩阵为可逆的l x l的方阵，则经过线性变换得到密文C=EK（M）=（c1c2…cI）T，其中
C1=(k11m1+ k12m2+…+ k1lml)mod28,
C2=(k21m1+ k22m2+…+ k2lml)mod28,
………….
Cl=(kl1m1+ kl2m2+…+ kllml)mod28,
或写成矩阵形式
C=（KM）mod28,
其中
C=（C1，C2，…，Cl）T ，M=（m1，m2，…，ml）T， K=(kij)lxl
解密得明文
M=（K-1C）mod28
注意，明文、密文都是非负实数，故密匙矩阵K及其逆矩阵K-1的元素都应该是非负实数，不能是负整数、分数、或小数。当密匙矩阵K的行列式的值等于+1或-1，则逆矩阵K-1的元素是整数。若K-1的元素有负整数，再对矩阵K-1的所有元素加28的若干倍，再取模28，可保证矩阵K-1的所有元素为正整数。密文解密后可得非负整数明文M,与原明文相同。
（2）加密
对明文为“Mr Hill made this code。”,按表2-1的规则映射为数集{13，18，0，8，9，12，12，0，13，1，4，5，0，20，8，9，19，0，3，15，4，5，27，0}，假设将消息从左到右，每4个字符分为一组，并将对应的四个整数排列成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，要发出的消息可写为一个矩阵：
. 13 9 13 0 19 4
M= 18 12 1 20 0 5
0 12 4 8 3 27
8 0 5 9 15 0

为求出合适的密匙矩阵K1，在一个4x4阶矩阵中，任设二元函数的值为x,y,其余元素给出具体的非负整数值，并令其行列式的值的绝对值为1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取：

4 x 8 y
K1 = 12 1 6 9 , I K1I=1,
3 6 4 6
2 11 3 8
利用如下的MATLAB代码可求得密匙矩阵K1的行列式：
syms x y;
K=[4,x,8,y;12,1,6,9;3,6,4,6;2,11,3,8];
det_K=det(K)
运行结果：
det_K=
-760-105*x+187*y
可知二元一次方程为
-760-150x+187y=1，即105x-187y=-761.
下面利用辗转相除法求一整数解。
设u=x,v=-y,得
105u+187v=-761
对上式辗转相除：
187=1x105+82
105=1x82+23
82=3x23+13
13=1x10+3
10=3x3=1
3=3x3=0
从而得到
187 = 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1
105 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

= 187 57 1 = Q 1
105 32 0 0 ,
即
1 = Q-1 187 = -32 57 187
0 105 105 -187 105
也即
105x57+187x(-32)=1
两边同时乘以-761，得
105x(-43377)+187x24352=-761
故u=-43377,v=24352为一个特解，
从而u=-43377-187t,v=24352+105t,t为整数
故而x=-43377-187t,y=-24532-105t,t为整数
不妨取t=-232,可得x=7,y=8.从而密匙矩阵可取为
4 7 8 8
K1 = 12 1 6 9
3 6 4 6
2 11 3 8

以上过程可采用如下的MATLAB代码实现;
syms t;
Q=[1 1;1 0]* [1 1;1 0]* [3 1;1 0]* [1 1;1 0]* [1 1;1 0]* [3 1;1 0]* [3 1;1 0]
S=[187;105]
Q*[1;0]
Q_inv=inv(Q)
uv0=[-761*Q_inv(1,2) -761*Q_inv(1,1)]
gs=gcd(S(1),S(2));
u=uv0(1)-S(1)/gs*t;
v=uv0(2)+S(2)/gs*t;
u0=uv0(1)-S(1)/gs*(-232);
v0=uv0(2)+S(2)/gs*(-232);
x0=u0,;
y0=-v0;
于是将要发出的信息乘以K1变成“密码”后发出：

4 7 8 8 13 9 13 0 19 4
（K1M）mod 28 = 12 1 6 9 18 12 1 20 0 5
3 6 4 6 0 12 4 8 3 27
2 11 3 8 8 0 5 9 15 0

18 20 19 24 24 15
C= 22 24 2 9 17 19
27 7 7 10 19 10
8 18 5 8 27 4
对照表2-1可知接受者接到的密文是”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”.
(3)解密
接收者收到信息”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”后，运用事先约定的密匙矩阵K1的逆矩阵K-1解密，从密码中恢复明文，当K-1得元素出现负整数，则加上28的若干倍数，使它的元素全为非负整数，再取模28可得解密的密匙矩阵K2
根据表2-1，反过来查表，即可得明文，解密正确。给定密匙矩阵，利用如下代码可求得问题的解:
M=[13 9 13 0 19 4;18 12 1 20 0 5;0 12 4 8 3 27; 8 0 5 9 15 0];
K1=[4 7 8 8; 12 1 6 9; 3 6 4 6;2 11 3 8];
det(K1)
C=mod(K1* M,28)
K1_inv=inv(K1)
K1_inv=round(K1_inv);
K2=mod(K1_inv,28)
M=mod(K2*C,28)
ans =
1.0000
C =
18 20 19 24 24 15
22 24 2 9 17 19
27 7 7 10 19 10
8 18 5 8 27 4
K1_inv =
-112.0000 -34.0000 371.0000 -128.0000
-105.0000 -32.0000 348.0000 -120.0000
-39.0000 -12.0000 130.0000 -45.0000
187.0000 57.0000 -620.0000 214.0000
K2 =
0 22 7 12
7 24 12 20
17 16 18 11
19 1 24 18
M =
13 9 13 0 19 4
18 12 1 20 0 5
0 12 4 8 3 27
8 0 5 9 15 0
此矩阵与原矩阵相符，解密成功。
现依照上面步骤取另一个可逆矩阵K2，来作为密匙为求出合适的密钥矩阵K2，在一个4*4阶的矩阵中，任设二元素的值为x，y，其余元素给出具体的非负整数数字，并令其行列式的值等于1或-1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取
1 x 2 y
K2 = 3 1 6 9 ,|K2|=1.
3 6 4 6
2 7 3 8

利用如下的代码可求得密钥矩阵K2行列式：
syms x y;
K=[1,x,2,y;3,1,6,9;3,6,4,6;2,7,3,8];
det_K=det(K)
运行结果：
det_K =
21*x - 23*y + 62
可知二元一次方程为21x-23y+62=1，即21x+61=23y
下面利用枚举法求一整数解，代码如下：
x=1;
while mod(21*x+61,23)~=0
x=x+1;
end
x
y=(21*x+61)/23
运行结果：
x =
19
y =
20
故密钥矩阵（发送者和接受者事先都知道的矩阵）可取为
1 19 2 20
K2= 3 1 6 9
3 6 4 6
2 7 3 8

于是将要发出的信息（或矩阵）经乘以K2变成“密码”后发出：
(K2 M)mod28= 11 9 0 16 17 13
17 27 25 9 14 11
27 7 7 10 19 10
20 26 1 12 27 12
=C
对照表5-4可知接受者收到的密文是
“kg.ti.gz ygapijlqns.mkjl”.
3．解密
接受者收到信息“kg.ti.gz ygapijlqns.mkjl”后，运用事先约定的密钥解密，即用
K2-1= -112 -54 -271 544
21 10 51 -102
87 42 211 -423
-23 -11 -56 112
从密文中恢复明文。由于K2-1的元素出现负整数，故把它的每一个元素加上28的若干倍数，使它的元素全为非负整数，再取模28.即取
K= 0 2 9 12
21 10 23 10
3 14 15 25
5 17 0 0

13 9 13 0 19 4
(KC)mod 28= 18 12 1 20 0 5 =M.
0 12 4 8 3 27
8 0 5 9 15 0
以上可有以下代码实现
M=[13 9 13 0 19 4;18 12 1 20 0 5;0 12 4 8 3 27; 8 0 5 9 15 0];
K1=[1 19 2 20;3 1 6 9;3 6 4 6;2 7 3 8];
det(K1)
C=mod(K1* M,28)
K1_inv=inv(K1)
K1_inv=round(K1_inv);
K=mod(K1_inv,28)
M=mod(K2*C,28)
运行结果
ans = 1.000
C =
11 9 0 16 17 13
17 27 25 9 14 11
27 7 7 10 19 10
20 26 1 12 27 12
K1_inv =
-112 -54 -271 544
21 10 51 -102
87 42 211 -423
-23 -11 -56 112
K =
0 2 9 12
21 10 23 10
3 14 15 25
5 17 0 0
M =
13 9 13 0 19 4
18 12 1 20 0 5
0 12 4 8 3 27
8 0 5 9 15 0
根据表5-4，反过来查表，即可知得明文“mr hill made this code.”解密正确。
四．实验总结
Hill密码是基于矩阵的线性变换而设计的一种密码。Hill密码的思想比较简单，其最大的好处是隐藏了字符的频率信息，使得传统的通过字频来破译密文的方法失效。从实验过程可以看出，利用矩阵及其运算可以方便的描述加密和解密过程，而MATLAB的强大矩阵运算功能使得Hill密码的实现变得简单。