资源描述
§1.2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)
课时目标
1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．
1．任意角三角函数的定义
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
一、填空题
1．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝________.
2．点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．
3．若sin α<0且tan α>0，则α是第____象限角．
4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为________．
5．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是________．
6．α是第一象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x＝________.
7．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．
9．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________.
二、解答题
11．确定下列各式的符号：
(1)tan 120°·sin 273°；(2)；
(3)sin ·cos ·tan π.
12．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．
能力提升
13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是________．
①sin ；②cos ；③tan ；④cos 2θ；⑤sin 2θ.
14．已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
§1.2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
知识梳理
1.
作业设计
1．－ 2.－
3．三
解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0，
∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．
4．3
解析 r＝，cos α＝＝＝－.
∵α的终边经过点P，cos α＝－，
∴α为第二象限角，
∴b>0，∴b＝3.
5．{－1,3}
解析 若x为第一象限角，则f(x)＝3；
若x为第二、三、四象限，则f(x)＝－1.
∴函数f(x)的值域为{－1,3}．
6.
解析 r＝，cos α＝，
由＝(x>0)，
解得x＝.
7．－2<a≤3
解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2<a≤3.
8．负号
解析 ∵<2<π，∴sin 2>0，
∵<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<π，∴tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
9.
解析 由任意角三角函数的定义，
tan θ＝＝＝＝－1.
∵sinπ>0，cosπ<0，
∴点P在第四象限．∴θ＝π.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m.
∴OP＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°<0.
∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0.
从而tan 120°·sin 273°>0，∴式子符号为正．
(2)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.
从而<0，∴式子符号为负．
(3)∵是第三象限角，是第二象限角，是第四象限角，
∴sin<0，cos<0，tan<0，
从而sin ·cos ·tan <0，
∴式子符号为负．
12．解 sin α＝＝y.
当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
当y≠0时，由＝，解得y＝±.
当y＝时，P，r＝.
∴cos α＝－，tan α＝－.
当y＝－时，P(－，－)，r＝，
∴cos α＝－，tan α＝.
13．③⑤
解析 ∵θ为第一象限角，
∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ<<kπ＋，k∈Z，
4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z.sin 2θ>0.
当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，tan >0.
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，
2nπ＋π<<2nπ＋π (n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin <0，cos <0，tan >0，
从而tan >0，而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值．
14．解 ∵x＝－15a，y＝8a，
∴r＝＝17|a| (a≠0)．
(1)若a>0，则r＝17a，于是
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)若a<0，则r＝－17a，于是
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
1．2.1 任意角的三角函数(二)
课时目标
1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是________；余弦函数y＝cos x的定义域是________；正切函数y＝tan x的定义域是________________．
2．三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
一、填空题
1.
如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________．
①正弦线PM，正切线A′T′；②正弦线MP，正切线A′T′；③正弦线MP，正切线AT；④正弦线PM，正切线AT.
2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________．
3．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围为______．
4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)．
5．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α<cos α}，则A∩B＝________________.
6．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是________．
7．如果<α<，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________．
8．不等式tan α＋>0的解集是______________．
9．已知α，β均为第二象限角，若sin α<sin β，则tan α与tan β的大小关系是tan α____tan β.
10．求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
二、解答题
11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
12．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
能力提升
13．求下列函数的定义域．
f(x)＝＋ln.
14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：sin α<α<tan α.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
1．2.1 任意角的三角函数(二)
知识梳理
1．R R {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
2．MP OM AT MP OM AT
作业设计
1．③
2.或
解析 角α终边落在直线y＝－x上．
3.
4．sin 1.5>sin 1.2>sin 1
解析 ∵1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐增大，
∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.
5.∪ 6.∪
7．cos α<sin α<tan α
解析
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cos α<sin α<tan α.
8.
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
9．>
解析 作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β.
10.，k∈Z
解析 如图所示．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－<sin x<.
∴x∈∪ (k∈Z)．
即x∈ (k∈Z)．
11．解 (1)
图1
作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)
图2
作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
12．解 ∵θ是第二象限角，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，
故kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)．
作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos <sin <tan .
当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，
sin <cos <tan .
13．解 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
14．证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP
＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT，
所以sin α<α<tan α，
即sin α<α<tan α.
1．2.2 同角三角函数关系
课时目标
1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________________.
(2)商数关系：________________(α≠kπ＋，k∈Z)
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝________；cos2α＝________；
(sin α＋cos α)2＝________________；
(sin α－cos α)2＝________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；
sin α·cos α＝____________＝__________.
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝____________；cos α＝____________.
一、填空题
1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是________．
2．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝______.
3．若sin α＋sin2α＝1，，则cos2α＋cos4α＝________.
4．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．
5．已知tan α＝－，则的值为________．
6．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为________．
7．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝______.
8．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝________.
9．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
10．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝____.
二、解答题
11．化简：.
12．求证：＝.
能力提升
13．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan θ＋的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．
1．2.2 同角三角函数关系
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝
2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α
1－2sin αcos α 2
cos αtan α
作业设计
1．1 2.－ 3.1 4.－
5．－
解析 ＝
＝＝＝＝－.
6．－8
解析 tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
7.
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝
＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
8．－
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－.
9.
解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7.
当k＝1时，cos θ不符合，舍去．
当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.
10．2
解析 方法一 由联立消去cos α后得(－－2sin α)2＋sin2α＝1.
化简得5sin2α＋4sin α＋4＝0
∴(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－.
∴cos α＝－－2sin α＝－.
∴tan α＝＝2.
方法二 ∵cos α＋2sin α＝－，
∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，
∴＝5，
∴＝5，
∴tan2α－4tan α＋4＝0，
∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.
11．解 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
12．证明 左边＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
13．证明 (1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a.
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a.
解得：a＝1－或a＝1＋
∵sin θ≤1，cos θ≤1，
∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a＝1＋舍去．
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a(1－a)＝－2.
(2)tan θ＋＝＋＝
＝＝＝＝－1－.
1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于________对称
－α与α
关于________对称
π－α与α
关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝________，
cos(α＋2kπ)＝________，
tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(－α)＝________，
cos(－α)＝________，
tan(－α)＝________.
(3)公式三：sin(π－α)＝________，
cos(π－α)＝________，
tan(π－α)＝________.
(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，
tan(π＋α)＝________.
一、填空题
1．sin 585°的值为________．
2．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
3．若n为整数，则代数式的化简结果是________．
4．三角函数式的化简结果是______.
5．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.
6．tan(5π＋α)＝2，则的值为________．
7．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝________.(用k表示)
8．代数式的化简结果是______．
9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 011)＝1，则f(2 012)＝____.
10．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为________．
二、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
能力提升
13．化简： (其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将负角转化为正角求值
公式三
将角转化为0～求值
公式四
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sin α cos α tan α
(2)－sin α cos α －tan α
(3)sin α －cos α －tan α
(4)－sin α －cos α tan α
作业设计
1．－ 2.－ 3.tan α
4．tan α
解析 原式＝＝
＝＝＝tan α.
5．－
解析 由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－
＝－ (α为第四象限角)．
6．3
解析 原式＝＝＝＝3.
7．－
解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
8．－1
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
9．3
解析 f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin α＋bcos β)＝1，
∴asin α＋bcos β＝1，
f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝3.
10．－
解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－
＝－＝－.
11．解 原式＝
＝
＝
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β
＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝
＝
＝
＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴原式的值为－1.
14．解 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝________；
cos＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；
cos＝________.
2．诱导公式五～六的记忆－α，＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、填空题
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为______．
2．若sin＝，则cos＝________.
3．若sin(3π＋α)＝－，则cos ＝________.
4．已知sin＝，则cos的值等于________．
5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为________．
6．代数式sin2(A＋15°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝______.
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.
二、解答题
11．求证：＝－tan α.
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
能力提升
13．化简：sin＋cos (k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
知识梳理
1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α
2．异名 符号
作业设计
1．－
解析 f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
2．－
解析 cos＝cos
＝－sin＝－.
3．－
解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－cos
＝－sin α＝－.
4．－
解析 cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
5．－
解析 ∵sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
6．1
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
7．－
解析 由cos＝－sin φ＝，
得sin φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.
8．－
解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
9.
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.
10．2
解析 原式＝＝＝＝2.
11．证明 左边
＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝，
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝，③
sin α－cos α＝，④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
13．解 原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sin
＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
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