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探秘图形中的不等关系
南昌市第二十七中学 翁荔
一、教学内容
人教版七年级下册第九章《不等式与不等式组》数学活动课：利用一元一次不等式解决图形中的不等关系。
二、教学目标
1、知识与技能
通过对图形中不等关系的求解，深化学生综合运用线段公理、不等式性质等知识，提高学生有条理地思考和表达的能力，学会运用数学知识解决实际问题。
2、过程与方法
通过学生自主探究、小组合作解决问题的过程，体会化归思想。
3、情感与态度
进一步升华学生的符号感和数学素养，提高解决问题的能力.
三、教学重点与难点
1、教学重点
利用化归思想方法探究图形中的不等关系。
2、教学难点
进一步学会数学推理的表述过程，符号语言、逻辑思维都是本节课关注的重要能力。 
四、教学准备
1、教学方法
探究、讨论、交流、演练。
2、教学手段
计算机、ppt。
3、知识准备
上完人教版七年级下册第九章《不等式与不等式组》。
五、教学过程设计
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
创设情境
游戏目标：猜出一个字
游戏过程：大家每闯过一次关卡可以 获得一个线索，最终通过所有线索猜出字的小组获胜。

教师讲解
学生听讲
增强整个课堂学习气氛，加强小组成员之间的合作。
引出问题
第一关：班上新来了一位身高1.9米的大个子，他说自己的步子大，一步能跨三米多，你相信吗？
不可能，因为两点之间，线段最短，此人两腿长的和＞3米多，这与实际情况不符。
引出本节课的主题：《探秘图形中的不等关系》
引导学生回答
学生听讲，思考回答问题
引出本节课最基本的证明理由：两点之间，线段最短
问题推广
第二关：（创设情境）大家好，我是帅到没朋友的快递员小明。老板说，如果今天我能以最短的路程把快递送到面包店、披萨店、学校、理发店，就请我吃大餐，同学们，你们能帮帮我吗？

那一条路径更短呢？
将实际问题转化为数学问题

AB+AC>BP+PC
引导学生回答
学生听讲，思考回答问题
在前一个问题的基础上，引导学生把实际问题转化成数学问题
问题演化

那一条路径更短呢？
将实际问题转化为数学问题

解：∵AB+AP>BP
∴AB+AP+PC >BP+PC
∴AB+AC>BP+PC
教师将学生分成6个小组，并巡视指导学生解决问题，学生发言完毕后，教师讲解概括。
小组内的成员共同探究各自的猜想，学生代表讲解思路。
由点P在线段BC上，变化到点P在线段AC上，解决问题的方法有很多，引导学生意识到上一个已经解决的问题在解决此问题中发挥的作用。
问题再变化

哪一条路径更短呢？
将实际问题转化为数学问题

解：
延长BP交AC于D
∵AB+AD>BP+PD ①
PD+DC>PC ②
① + ② ：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC
∴AB+AC>BP+PC
教师巡视指导学生解决问题，学生发言完毕后，教师讲解概括。
小组内的成员共同探究各自的猜想，学生代表讲解思路。
由点P在线段AC上，变化到点P在△ABC内部，问题答案具有开放性，为学生留有思维发展的余地，培养学生的创造性思维。引导学生意识到上一个已经解决的问题在解决此问题中发挥的作用。
问题深化

哪一条路径更短呢？
将实际问题转化为数学问题

解：

教师巡视指导学生解决问题，学生发言完毕后，教师讲解概括。
小组内的成员共同探究各自的猜想，学生代表讲解理由。
由点P在△ABC内部，变化到两个点P1，P2，问题答案具有开放性，为学生留有思维发展的余地，培养学生的创造性思维。引导学生意识到上一个已经解决的问题在解决此问题中发挥的作用。
问题再深化
（创设情境）小明说：谢谢同学们，我终于见到我的大餐了，有鸳鸯锅底羊肉片肥牛虾滑鱼滑蟹棒鱼丸鸭肠虾饺里脊百叶乌鸡牛蛙午餐肉金针菇炸豆皮生菜腐竹藕片土豆冻豆腐和手切面，但是……这个
味道有点太咸了……
老板说：“没关系，没关系，没关系，不就是有点咸么，时间会冲淡一切的。”…………说的好有道理，已经练成学霸的我，赶紧拿出一道题来打发时间。

问题：一个直径为2的圆，如果有另一个圆的一段弧，把圆分为面积相等的两部分，如图。请问，能不能证明 的长必大于2？

问题一：将一个圆面积一分为二，最简单的办法是什么？
问题二：连接AB两点，圆心在AB的什么位置呢？
问题三：除了直径外，还有没有其他的量等于2呢？
最终画出图形：

学生证明：
的长必大于2？
解：

教师巡视指导学生解决问题，学生发言完毕后，教师讲解概括。
小组内的成员共同探究各自的猜想，学生代表讲解理由。
体会把一个复杂的问题逐一分解成若干个简单问题，然后解决的过程。
画龙点睛
教师公布6个线索的内容，提问：你能猜出这是一个什么字吗？
答案：化，引出教师接下来要讲的化归。
教师讲解在以上解决问题过程中的化归思想，总结化归思想的基本功能是：
1.将生疏的化成熟悉的；
2.把复杂的分成简单的；
3.变抽象的转成直观的；
4. 拿模糊的换成清晰的。

教师讲解，学生回答问题。
学生听讲，思考回答问题
让学生体会化归思想
沙场练兵
随堂练习：
如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，
且AC、BD相交于点O．求证：

学生练习，教师指正。
学生练习
此部分根据课堂时间教师灵活安排。
小结与反思

回顾本节课的学习，思考下列问题：
1、本节课复习了哪些知识和方法？
2、你有什么收获和提高呢？

教师提问，学生回答问题。
学生思考问题并回答。
培养学生总结反思的习惯
布置作业
1、巩固性作业 （必做）
如图，在小河的同侧有A，B，C，D四个村庄，图中线段表示道路．邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过 D村的道路，这是为什么呢？请你 用所学的数学知识说明其中的
道理．
2、拓展性作业 （选做）
如图，D、E分别为AB、AC中点，CB=BE，求证：CB+CD＞AD+AE．

3、放飞性作业 （希望去做）
阅读欣赏 ：《数学家的眼光》张景中

教师布置作业。
学生认真记录。
学生根据自己的学习情况选择作业。
六、板书设计
探秘图形中的不等关系
1、两点之间，线段最短
2、 AB+AC>BP+PC
3、 AB+AC>BP+PC
4、 AB+AC>BP+PC
5、
6、
思想：化归思想