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第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α
B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
解析：易知A选项正确；对于B选项，m，n也可能异面；对于C选项；n也可能在α内；对于D选项α，β也可能相交，故选A.
答案：A
2．(2011·安徽十校联考)在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题的是( )
A．若l⊂β且α⊥β，则 l⊥α
B. 若l⊥β且α∥β，则l⊥α
C．若l⊥β且α⊥β，则l∥α
D．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α
解析：A显然不对，C、D中的直线l有可能在平面α内．故选B.
答案：B
3．(2011·西城模拟)若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是( )
A．a∥β，α⊥β B．a⊂β，α⊥β
C．a⊥b，b∥α D．a⊥β，α∥β
解析：只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.
答案：D
4．下列命题中错误的是( )
A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上所有直线
B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
C．若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
解析：由线面垂直定义知，命题A正确；由面面垂直的判定定理知，命题B正确；一条直线垂直于一个平面的一条垂线时，此直线可能平行于这个平面，也可能在这个平面内，所以命题C是错误命题；由线面垂直判定定理知，命题D正确．
答案：C
5．(2011·西安模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，DE＝，
tan∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°.
答案：C
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有( )
A．DP⊥平面PEF B．DM⊥平面PEF
C．PM⊥平面DEF D．PF⊥平面DEF
解析：在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，
∴在折叠后的四面体P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP，
又EP∩FP＝P，
∴DP⊥平面PEF.
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．(2011·扬州模拟)已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.
答案：充分不必要
8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
9．已知二面角M－l－N的平面角是60°，直线a⊥M，则直线a与平面N所成角的大小为________．
解析：如图，二面角M－l－N中a⊥M，垂足为A，交平面N于B，过A作AC⊥l垂足为C.连结BC.根据三垂线定理有BC⊥l.所以∠ACB为二面角M－l－N的平面角．
∠ACB＝60°，
∵⇒∠BAC＝90°⇒∠ABC＝30°.
过A作AE⊥BC，垂足为E.
∵⇒AE⊥l，
∴AE⊥平面N，
∴∠ABC＝30°是直线a与平面N所成的角．
答案：30°
三、解答题
10．(2011·济南模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA1上的一点．
(1)求证：CD⊥平面AEC；
(2)若平面CBE交DD1于点F，求证：EF∥AD.
证明：(1)因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD.
因为CD⊂平面ABCD，所以AA1⊥CD，即AE⊥CD.
因为AC⊥CD，AE⊂平面AEC，
AC⊂平面AEC，AE∩AC＝A，所以CD⊥平面AEC.
(2)因为AD∥BC，AD⊂平面ADD1A1，
BC⊄平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A1.
因为BC⊂平面BCE，平面BCE∩平面ADD1A1＝EF，
所以EF∥BC.因为AD∥BC，所以EF∥AD.
11．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1、CC1于E、F两点．
(1)求证：A1E＝CF；
(2)若E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1D.
证明：(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF、与平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
∴D1E∥BF，同理BE∥D1F，
∴四边形EBFD1为平行四边形，
∴D1E＝BF，
∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，
∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，
∴A1E＝CF.
(2)AE＝A1E＝FC＝FC1，AB＝BC，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE＝BF，又四边形EBFD1是平行四边形，
∴故四边形EBFD1为菱形．
连接EF、BD1、A1C1，
∵四边形EBFD1为菱形，
∴EF⊥BD1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，
∴B1D1⊥平面A1ACC1.
又EF⊂平面A1ACC1，
∴EF⊥B1D1.
又B1D1∩BD1＝D1，
∴EF⊥平面BB1D1D.
又EF⊂平面EBFD1，
故平面EBFD1⊥平面BB1D1D.
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；
(3)在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1－BD－E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由．
解：连接AC，设AC∩DB＝O，
连接A1O、OE，
(1)证明：因为AA1⊥底面ABCD，
所以BD⊥A1A，
又BD⊥AC，
A1A∩AC＝A，
所以BD⊥平面ACEA1，
因为A1E⊂平面ACEA1.
所以A1E⊥BD.
(2)证明：在等边三角形A1BD中，
BD⊥A1O，
∵BD⊥平面ACEA1，
OE⊂平面ACEA1，
∴BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设棱 长为2a，
因为E为棱CC1的中点，
由平面几何知识，
得EO＝a，A1O＝a，
A1E＝3a，
满足A1E2＝A1O2＋EO2，
所以∠A1OE＝90°，
即平面A1BD⊥平面EBD.
(3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
假设棱CC1上存在点E，
可以使二面角A1－BD－E的大小为45°，同(2)，有∠A1OE＝45°，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，
EC＝x，由平面几何知识，
得EO＝，
A1O＝a，
A1E＝.
所以在△A1OE中，
由A1E2＝A1O2＋EO2－2A1O·EOcos∠A1OE，
得x2－8ax－2a2＝0(x＞0)，
得x＝4a±3a.
这里4a＋3a＞2a，
4a－3a＜0.
所以棱CC1上不存在满足条件的点．
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