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平行四边形面积的另类表达式
(20141007於上海松江)
如图所示，平行四边形的两邻边分别为a、b(a≥b)，两邻边的夹角为α(0＜α＜90。)，两对角线分别为d1、d2，两对角线的夹角为θ(θ＜90。)，h为对边距，

则：平行四边形面积S的一般表达式S＝a×h＝a×b×sinα＝(1/2)×d1×d2×sinθ。
然：平行四边形面积S的另类表达式
S＝(1/2)×(a2－b2)×tanθ， 且应符合条件tan(θ/2)≤(b/a)。
下面给出此另类表达式的推导或证明过程：
1、矢量算法的推导或证明过程
由标量积（数量积、点积、内积）的定义得：
a·b＝ab＝│a││b│cosφ＝abcosφ，（0≤φ≤π）
两矢量的标量积，可以看作矢量a的长度乘以矢量b在a上的投影长度。
由矢量积（叉积、外积）的定义得：
│a×b│＝│a││b│sinφ＝absinφ，（0≤φ≤π）
a×b它是一个矢量，即长度等于以a，b为边的平行四边形的面积。
由上两定义式得：│a×b│／(a·b)＝tanφ，从事有：│a×b│＝a·b·tanφ

上题中分别以a＋b和a－b两矢量，以及两矢量夹角θ代入上式中，则有：
│（a＋b）×(a－b)│＝（a＋b）·（a－b）tanθ
左边：│（a＋b）×(a－b)│＝│（a×a＋b×a）－a×b－b×b)│＝│－2(a×b)│
＝2absinφ＝2倍平形四边面积＝2S
（其中：a×a＝0，b×b＝0，b×a＝－a×b）
右边：（a＋b）·（a－b）tanθ＝（a2－b2）tanθ
（结论）从而有：平形四边面积S＝（1/2）×（a2－b2）tanθ。
2、平面几何法（含三角函数）的推导或证明过程
如图2所示，容易得到，平形四边面积SABCD＝a·b·sinα＝2SMBNC＝2BN·MB sinθ
其中：MB2＝ME2＋EB2＝[(1/2)b·sinα] 2＋[(1/2)( a－b·cosα)]2
BN2＝BF2＋FN2＝[(1/2)( a＋b·cosα)]2＋[(1/2)b·sinα]2
从而有：S2ABCD＝S2＝4·{[(1/2)b·sinα] 2＋[(1/2)( a－b·cosα)] 2}·{[(1/2)( a＋b·cosα)]2＋[(1/2)b·sinα]2}·sin2θ （化简整理得：）
S2＝4sin2θ[(1/4)(a2＋b2)＋(1/4)2ab·cosα)]·[(1/4)(a2＋b2)－(1/4) 2ab·cosα)]
S2＝4sin2θ{[(1/4)(a2＋b2)]2－[(1/4)2abcosα]2}
S2＝4sin2θ{[(1/4)(a2＋b2)]2－[(1/4)a2b2cos2α]}
S2＝4sin2θ{[(1/4)(a2＋b2)]2－[(1/4)a2b2(1－sin2α)]}
S2＝4sin2θ{[(1/4)(a2－b2)]2＋[(1/4)a2b2sin2α)]}（其中：absinα＝2S）
S2＝4sin2θ{[(1/4)(a2－b2)]2＋[(1/4)S2]}＝4sin2θ[(1/4)(a2－b2)]2＋sin2θ·S2
从而有：（1－sin2θ）S2＝4sin2θ[(1/4)(a2－b2)]2＝(1/4)(a2－b2)2sin2θ
因此有： S＝(1/2)(a2－b2)(sinθ/cosθ)＝(1/2)(a2－b2)tanθ。
3、三角函数方程法的推导或证明过程
设平行四边形的两对角线d1、d2分别为2x、2y，两对角线d1、d2的夹角为θ，由三角形的余弦定理得：a2＝x2＋y2＋2xycosθ， b2＝x2＋y2－2xycosθ，又因为2xy·sinθ＝S
解方程组得：(a2－b2)＝4xycosθ＝4xysinθcosθ/sinθ＝4×(1/2)S×(cosθ/sinθ)
因此有：S平行四边形＝(1/2)(a2－b2)×(sinθ/cosθ)＝(1/2)(a2－b2)tanθ。
[附加说明]：在方程组中，若方程组有实数解，即两对角线有实数解，则其平行四边形存在，然而，方程组中的根判别式应大于等于零，即b2－4ac≥0
由方程组整理得：(a2－b2)＝4xycosθ，(a2＋b2)＝2x2＋2y2
xy＝(a2－b2)/(4cosθ)，x2＋y2＝(a2＋b2)/2
得：x4－[(a2＋b2)/2]x2＋[(a2－b2)/(4cosθ)]2＝0
故有：{－[(a2＋b2)/2]}2－4[(a2－b2)/(4cosθ)]2≥0，[(a2＋b2)2－[(a2－b2)2/cos2θ≥0
（因a≥b， 0＜α＜90。，有a2≥b2，cosθ＞0)
进而得：(a2＋b2)≥(a2－b2)/cosθ，(1－cosθ)/(1＋cosθ)≤b2/a2，tan2(θ/2) ≤b2/a2，
结论有：tan(θ/2)≤b/a。且仅当夹角θ符合tan(θ/2)≤b/a时，平行四边形才存在成立。
4、三角函数法的推导或证明过程
在三角形ABD和ABC中，因S△＝(1/2)a·b·sinα，cosα＝(a2＋b2－C2)/(2ab)
S2平行四边形＝(2S△ABD)2＝4S2△ABD＝4S2△＝a2b2sin2α＝a2b2(1－cos2α)
＝a2b2(1－[(a2＋b2－C2)/(2ab)]2＝(1/4){4a2b2－[(a2＋b2)＋C2]2}
得：4S2＝4S2平行四边形＝4a2b2－[(a2＋b2)＋C2]2，[(a2＋b2)＋C2]2＝4a2b2－4S2，
从而有：(a2＋b2)＋C2＝±√(4a2b2－4S2)
得： C2＝(a2＋b2)±√(4a2b2－4S2)，即存在平行四边形的两对角线d1、d2，
又因为：S＝S平行四边形＝(1/2)d1·d2·sinθ，S2＝(1/4)d12·d22·sin2θ
得：S2＝(1/4)sin2θ[(a2＋b2)＋√(4a2b2－4S2)][(a2＋b2)－√(4a2b2－4S2)]
S2＝(1/4)sin2θ[(a2＋b2)2－(4a2b2－4S2)]＝(1/4)sin2θ[(a2＋b2)2－4a2b2＋4S2)]
＝(1/4)sin2θ[(a2－b2)2＋4S2)]＝(1/4)sin2θ(a2－b2)2＋sin2θS2)]
从而得：(1－sin2θ)S2＝(1/4)sin2θ(a2－b2)2
S2＝(1/4)sin2θ(a2－b2)2/(1－sin2θ)＝(1/4)(a2－b2)2tan2θ
(结论)得：S＝(1/2)(a2－b2)tanθ。

[题外说明]：
1、此题中，若平行四边形的两邻边长a＝b时，此时平行四边形为菱形，两对角线的夹角θ为90。，若未确定两邻边的夹角α，则符合条件(a＝b，两对角线互垂直)的平行四边形(菱形)是无限的，故无法应用S＝(1/2)(a2－b2)tanθ来计算其面积。
2、此题中，若平行四边形的两邻边长a＝b时，且两邻边的夹角α＝90。，此时平行四边形为正方形，其两对角线的夹角θ为90。，则不能应用S＝(1/2)(a2－b2)tanθ(因其中a2－b2＝0，tanθ＝tan90。＝∞)来计算其面积。
3、例如，设平行四边形的两邻边a＝4，b＝2，两对角线的夹角θ为60。，求此平行四边形的面积？应用S＝(1/2)(a2－b2)tanθ，平行四边形的面积S＝(1/2)×(42-22)×tan60。得平行四边形的面积S为6√3＞4×2＝8。事实上我们已知道，边长一定的平行四边形，其面积最大的一定是矩形，而此时的矩形，其面积4×2＝8。因此面积S为6√3是错误的。究其原因，应用S＝(1/2)(a2－b2)tanθ时，其两对角线的夹角θ应满足tan(θ/2)≤b/a。此例中tan(θ/2)＝tan30。＝3√3＞b/a＝1/2，因此，此平行四边形是不存在的。

=4=