单圈图的零强迫数的极小值.pdf

第36卷第2期2023年6月Vol.36 No.2Jun.2023闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University（Natural Science）单圈图的零强迫数的极小值涂东鑫（闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州363000）摘要：证明单圈图G满足(G)-2Z(G)P(G)+2，并刻画了满足Z(G)=(G)-2的所有单圈图，其中(G)和P(G)分别表示图G的最大度和悬挂点的数目.关键词：树图；单圈图；最大度；零强迫数中图分类号：O157.5 文献标志码：A 文章编号：2095-7122（2023）02-0042-08Minimum values for the zero forcing number of unicyclic graphsTU Dongxin(School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)Abstract:In this paper,we prove that(G)-2 Z(G)P(G)+2for any unicyclic graphG and that characterize all unicyclic graphs G with Z(G)=(G)-2,where(G)and P(G)denote the maximum degree and the number of pendant vertices of G respectively.Key words:tree;unicyclic graph;maximum degree;zero forcing number考虑的图为简单图.设图G=(V(G)E(G)为n阶简单图，V(G)和E(G)分别为G的顶点集和边集.对于任意uvV(G)，eE(G)，用dG(v)和NG(v)分别表示顶点v的度和邻域，(G)和(G)分别表示图G的最小度和最大度，dG(uv)表示点u和点v的最短路的边的数目.图G中度数为1的顶点称为悬挂点，用P(G)表示图G中悬挂点的数目.如果dG(v)3，则v称为主顶点.在图G中，如果v，u分别是主顶点和悬挂点，且满足dG(uv)dG(uw)，其中w是任意与v不同的主顶点，则u是主顶点v的终点，而v的终点个数称为主顶点v的终度，记为terG(v).如果主顶点的终度是正的，则称主顶点为外部主顶点.连通的无圈图称为树，记为T，用Pn表示一条n个顶点的路.给定图G，染色过程定义如下:用黑、白两种颜色给G的顶点进行染色，设SV(G)是染黑色的顶点集，V(G)-S为染白色的顶点集.若一个黑点v的邻点中只有点u为白色，那么点v强迫点u染成黑色，这个过程称为染色过程.现在从顶点集S出发，反复运用染色过程，最终使得G中所有顶点为黑色，则点集S称为G的一个零强迫集，而零强迫数是G的所有零强迫集中的最小基数，记为Z(G).近期，Oboudi1给出了树中零强迫数的上界和下界，即(T)-1Z(T)P(T)-1，并刻画了满足Z(T)=(T)-1的所有树图.我们注意到任一单圈图可以通过在相应的树上添加一条新边而得到，所以在满足Z(T)=(T)-1的树图上，刻画了满足Z(G)=(G)-2的所有单圈图.收稿日期：2022-10-16基金项目：福建省自然科学基金(2021J02048);福建省教育厅项目(JAT200330)作者简介：涂东鑫(1998),男,广东湛江人,硕士生.涂东鑫：单圈图的零强迫数的极小值第2期1 预备知识首先介绍两类树图：类型类型1 设T(m1mk;n1nk)是图1的（a）所示的树图，其中:mi0ni0，i=1k且k1.类型类型 2 设T(n1nk)是图 1 的（b）所示的树图，其中:ni2i=12k且k1，显然T(n1nk)=T(n1-2nk-2;00).称类型1，类型2的最上层的顶点为根点，且它们的根点只有一个.如图1中的点v和点1分别是它们的根点.如图2所示，该树图的主顶点是v1v2v3v4v6v7，终点是v15v16v17v18v19v20v21v22，其中:v2的终点个数是1，v4v6v7的终点个数分别为2，3和2，v1v3没有终点，所以它的外部主顶点为v2v4v6v7.给出几类特殊的类型1的树图.1)T1=T(m1mk-1;n1nk-20)，其中:mi1ni1mk-10i=12k-2.2)T2=T(m1mk-1;n1nk-300)，其中:mi0nj0i=12k-1j=12k-3.3)T3=T(m1m2m3;000)，其中:mi0i=123.4)T4=T(m1m2m3;n100)，其中:mi0n10i=123.通过添加一条新边后得到的3类图形：1)G1表示T1的根点通过一条边连接T3根点的度为2邻点得到的图形;2)G2表示T1的根点通过一条边连接T4的终点得到的图形;3)G3表示T2的根点通过一条边连接T4的任意点得到的图形.(上述所有图类满足Ti的根点是变化后图形Gj的最大度顶点，其中i=12和j=123)vv1v2vk-1vk111111222222333333m1n1m2n2mknk (a)T(m1mk;n1nk)122223333n1n2nk-1nk44445555 (b)T(n1nk)图 1 树图Fig.1 Treev1v3v2v4v5v6v7v8v9v10v11v12v13v14v15v16v17v18v19v20v21v22 图 2 树图TFig.2 Tree T432023年闽南师范大学学报（自然科学版）定理定理11 设T是阶数n2的树图，则(T)-1Z(T)P(T)-1.定理定理21 设T是阶数n3的树图，则Z(T)=(T)-1当且仅当1)T=Pn；2)T=T(m1mk;n1nk-200)，其中:mi0nj0i=1kj=1k-2，且k=(T)3.引理引理12 设G是阶数n2的连通图，则1)对任意vV(G)，有Z(G-v)-1Z(G)Z(G-v)+1；2)对任意eE(G)，有Z(G-e)-1Z(G)Z(G-e)+1.引理1是图的零强迫数的删点删边公式，重复使用以上公式，可得到如下删掉多条边和多个点的公式.推论推论1 设G是阶数n2的连通图，则1)Z(G-i=1kvi)-kZ(G)Z(G-i=1kvi)+k；2)Z(G-i=1kei)-kZ(G)Z(G-i=1kei)+k；3)Z(G-i=1kei-j=1lvj)-(k+l)Z(G)Z(G-i=1kei-j=1lvj)+(k+l)(其中ei与vj是不关联的).引理引理23 设G是阶数为n的连通图，则Z(G)=1当且仅当G=Pn.由上述引理可知，当G是连通图且GPn，则Z(G)2.定理定理34 设T是阶数n2的树图，则Z(T)=(T)当且仅当T为以下之一.1)T=P2；2)T=T(m1mk;n1nk-10)，其中:mi1ni1mk0i=12k-1且k=(T)3；3)T=Gi，其中i=123.2 主要结论及其证明单圈图是边数等于顶点数的简单连通图.从树图T的角度构造单圈图，可以在T中添加一条新边eE(T)，就可以获得单圈图G.本节不仅证明了单圈图的零强迫数满足(G)-2Z(G)P(G)+2，还刻画了满足Z(G)=(G)-2的所有单圈图.引理引理3 如果图G是通过在一条路Pn上连接一条新边得到的单圈图，则Z(G)=2.证明证明 显然路Pn的左右两个悬挂点是G的一个零强迫集，因此Z(G)2.由于G不是路，结合引理2可得Z(G)2，所以Z(G)=2.定理定理4 设G是一个单圈图，则(G)-2Z(G)P(G)+2.证明证明 先证Z(G)(G)-2.设G是单圈图，e是圈上一条边，T=G-e.结合引理1的2)得Z(G)Z(G-e)-1=Z(T)-1，结合定理1得Z(G)(T)-2.e影响树T的最大度(T)有2种情况：(G)=(T)或者(G)=(T)+1.当(G)=(T)，则Z(G)(G)-2.当(G)=(T)+1，则Z(G)(G)-3.断言：Z(G)(G)-3.反证法.假设Z(G)=(G)-3，如果Z(T)(T)，则Z(G)(T)-1=(G)-2，这与假设矛盾，从而Z(T)(T)-1.结合定理1得Z(T)=(T)-1.由定理2可得T=Pn(n3)或T=T(m1mk;n1nk-200).其一，当T=Pn(n3)，令Pn=v1v2vn，e=vsvt，其中1stn.由于(G)=(T)+1，则e连接Pn的最大度点.当d(vs)=1，d(vt)=2或者d(vs)=d(vt)=2，此时(G)=3.结合引理3可得Z(G)=2，则Z(G)=(G)-1，这与假设矛盾.其二，当T=T(m1mk;n1nk-200)，令v是T的最大度顶点，由于(G)=(T)+1，则e有一个端点是v.因为G-v有(T)个Pn，则Z(G)Z(G-v)-1=(T)-1，即Z(G)(G)-2，这与假设矛盾，从而断言成立.因此Z(G)(G)-2.44涂东鑫：单圈图的零强迫数的极小值第2期再证Z(G)P(G)+2.令e=v1v2是圈上的一条边，其中:v1和v2是圈上两个相邻的点.结合引理1的2)得Z(G)Z(G-e)+1=Z(T)+1,再结合定理 1 得Z(G)P(T).下面有 3 种情况：其一，当d(v1)=d(v2)=2，则P(T)=P(G)+2，那么Z(G)P(G)+2.其二，当d(v1)=2d(v2)3，则P(T)=P(G)+1，从而Z(G)P(G)+1.最后，当d(v1)3d(v2)3，则P(T)=P(G)，因此Z(G)P(G).综上所述可得Z(G)P(G)+2.证毕.定理定理 5 设G是任意单圈图，Z(G)=(G)-2当且仅当GQi(i=123)，其中Q1，Q2和Q3均是由T(m1mk;n1nk-200)(mi0nj0i=1kj=1k-2k2)的根点与其他图形的圈(圈长不小于3)上某一点重合得到图形(见图3).证明证明 必要必要性性 令v是T(m1mk;n1nk-200)的根点，v1v2vk是v不在圈上的邻点和(G)表示图G的最大度.由图可知，(G)=k+2.设v在圈上的邻点分别u1和u2.由于G-v得到k+1个路，根据引理1的1）可得Z(G)Z(G-v)-1k+1-1整理得Z(G)k，则Z(G)(G)-2.在图Q2中，附着在u1的唯一终点记为x1.在图Q3中，附着在u1和u2的唯一终点分别记为x2和y2.在T(m1mk;n1nk-200)中取点集如下：若mi=0，令wi=vi；若mi0，令wi=li，其中li是树的悬挂点使得dT(livi)=mi且i=123k-1，记S=w1w2wk-1.若G=Q1，则Su1是它的一个零强迫集.若G=Q2或G=Q3，则Sx1和Sx2分别是它的一个零强迫集.因此，Z(G)k，即Z(G)(G)-2.综上可得，Z(G)=(G)-2.充分性充分性 设G是一个单圈图，Cn(n3)是G唯一的圈，e是Cn的一条边.令T=G-e，(G)和(T)分别表示G的最大度和T的最大度.假设Z(G)=(G)-2，令=(T).结合引理 1 的 2)，可得Z(G)Z(G-e)-1=Z(T)-1.在树T中，e影响树T的最大度有2种情况：(G)=或者(G)=+1.下面凡是对于T(m1,m2,m;n1,n2,n)这类图形，不失一般性地假设mini0(i=12)，v是它的最大度点且v1v2v是v的邻点.当(G)=时，显然Z(T)=-1，若不然，Z(T)，可得Z(G)Z(T)-1-1,则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当(G)=+1，则e连接T的最大度顶点.若Z(T)+1，那么Z(G)(G)-1，与假设矛盾.结合定理1，得到-1Z(T)，那么Z(T)=-1.若不然，当Z(T)=时，结合定理 3，得到T=G1G2G3(令k=)，T=T(m1m2m;n1n2n-10)(n1n-11)或T=P2.当T=Gi(i=123)，设v是T的最大度顶点，则G删掉最大度顶点v得到-1条路和一个零强迫数为2的T(m1m2m3;n100)，结合引理 1 的 1），可得Z(G)Z(G-v)-1=D-1+2-1=D.由(G)=+1，得到Z(G)(G)-1，与假设矛盾.(1)Q1 (2)Q2 (3)Q3图3 满足Z(G)=(G)-2所有图类Fig.3 All graph classes satisfied Z(G)=(G)-2 452023年闽南师范大学学报（自然科学版）当T=T(m1m2m;n1n2n-10)且n1n-11，令e=vx，其中v是T的最大度顶点和x是T上的顶点.T-v的个分支记为Tv1Tv2TvD，那么有2种情况：其一，x是Tv1中的点.其二，x是Tv中的点.如果是x是Tv1中的顶点，则G-v2-v3-v-1得到一个强迫数为2的单圈图和2(-2)条路.根据推论4可得Z(G)Z(G-v2-v3-v-1)-(-2)=2+2(-2)-(-2).整理可得Z(G)，则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.如果是x是TvD中的顶点，G-v1-v2-vD-1得到强迫数为2的单圈图和2(-1)个路.根据引理1可得Z(G)Z(G-v1-v2-v-1)-(-1)=2+2(-1)-(-1).整理可得Z(G)+1，则Z(G)(G)，与假设矛盾.当T=P2时，此时G不是一个简单图.所以只需要考虑在满足Z(T)=-1的树T上加一条新边e，使得变化后图形满足Z(G)=(G)-2.结合定理2知T=Pn(n3)和T(m1m2m;n1n2n-200)，其中n1n2n-2为非负整数.情况情况1 T=Pn(n3).设Pn=v1v2vn且vsvt分别是Pn中两个不相邻的度为2顶点，有以下3种情况(见图4).情况情况1.1 e=v1vn，见图4的(a).结合引理3，则Z(G)=2，此时Z(G)=(G).情况情况1.2 e=v1vs，见图4的(b).结合引理3，则Z(G)=2，此时Z(G)=(G)-1.情况情况1.3 e=vsvt，见图4的(c).同理可得Z(G)=(G)-1.情况情况2 T=T(m1m2m;n1n2n-200)(3).情况情况2.1 Cn不包含v点.T-v的个分支记为Tv1Tv2TvD，由于Cn不包含v点，只要考虑在其中一个分支加边e，不妨假设这个分支是T1，下面进行讨论.当=3且n11，此时v1是外部主顶点，terT(v1)=2，见图5(a).令l1和l2是v1的终点，vs和vt分别l1v1和l2v1路中的度为2的顶点.当e=l1vs，e=l1l2，e=l1vt，或e=vsvt，此时(G)=3，这个图不是路，结合引理2可得Z(G)2，则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当e=l1v1或e=vsv1，此时(G)=4，容易计算得到Z(G)=3，那v1v2vn-1vn (a)情况1vnvsv1v2 (b)情况2vnvsv1vt (c)情况3图 4 单圈图Pn+eFig.4 Unicyclic graphs Pn+ev3v2v1vvsvtl1l2 (a)n10l1vtvsv3v2v1v (b)n1=0l1vtvsv3v2v1v (c)n1=0图 5D=3的树图TFig.5 Tree graph of D=346涂东鑫：单圈图的零强迫数的极小值第2期么Z(G)=(G)-1，这与假设矛盾.如果n1=0，此时v1不是外部主顶点，见图 5(b),(c).e连接分支Tv1的任意两个不相邻的顶点，都有(G)=3.G-v得到2个路和一个强迫数为2的单圈图，结合引理1的1)得Z(G)Z(G-v)-1=2+2-1=3则Z(G)(G)，这与假设矛盾.当4，e无论连接Tv1的任意两个顶点，此时(G)=.由于G-v得到一个强迫数为2的单圈图和-1个路，结合引理1的1)可得Z(G)Z(G-v)-1-1+2-1整理可得Z(G)，则Z(G)(G)，这与假设矛盾.情况情况2.2 Cn包含v点.需要考虑两种情况：e有一个端点是v，或者e没有端点是v.令e=v1v2，其中v1和v2表示树中的2个顶点.情况情况2.2.1 e有一个端点是v.有以下两种情况，见图6.注意，下面是以T(m1m2m;n1n2n)图连边e进行展示.图6中的vi(i=12)可能是树T的外部主顶点或者不是树T外部主顶点，但始终满足T为图T(m1m2m;n1n2n-200)，其中n1n-2为非负整数.(a)d(v1)=1d(v2)=(b)d(v1)=2d(v2)=图 6e有一个端点是v的两类单圈图Fig.6 Two classes of unicyclic graphs with one endpoint of e being v1)dT(v1)=1dT(v2)=，如图6的(a).当n11，此时terT(v1)=2且n2nD至少有2个为零.令v1的两个终点为l1和l2，e=l2v，此时GQ2，所以满足Z(G)=(G)-2.当n1=0，此时v1不是外部主顶点且n2n3n中至少有一个为零.令在Tv1中的唯一悬挂点为l(即l是满足d(lv1)=m1的点)，e=lv，有2种情况：其一，n2n3n中只有一个为0，由于G-v2-v3-vD-1得到一个强迫数为2的单圈图和2(-2)个路，结合推论1可得Z(G)Z(G-v2-v3-v-1)-(-2)=2+2(-2)-(-2)整理可得Z(G)，则Z(G)(G)-1.其二，n2n3nD中至少两个为0.此时GQ1，满足Z(G)=(G)-2.2)dT(v1)=2,dT(v2)=，如图6的(b).当n11，此时n2n至少有2个为零.令v1的两个终点为l1和l2，e=sv，其中s是l2v1路中的任意度为2的顶点.此时GQ3，满足Z(G)=(G)-2.当n1=0，此时v1不是T的外部主顶点且n2nD至少有一个为零.同样，令在Tv1中唯一悬挂点为l，s是T中的lv路中任意度为2的顶点，e=sv.讨论2种情况：其一，n2n3n中只有一个为零.由于G-v2-v3-vD-1得到一个强迫数为2的单圈图和2(-2)个路，结合推论4的1)可得Z(G)，从而Z(G)(G)-1.其二，n2n3n中至少有两个为零.此时GQ2，满足Z(G)=(G)-2.情况情况2.2.2 e没有端点是v.有以下6种情况(见图7)，下面分别讨论这6种情况.472023年闽南师范大学学报（自然科学版）1)dT(v1)=1,dT(v2)=1，见图7的(a).当n11n21且4，此时n3n至少有2个为零且v1和v2是T的外部主顶点.令v1和v2的两个终点分别为l1，l2和l11，l12，e=l2l11，此时GQ3，从而满足Z(G)=(G)-2.当n11n2=0且3，此时n3nD至少有1个为零且v1是外部主顶点和v2不是外部主顶点.令v1的两个终点分别为l1和l2，l是在Tv2中唯一的悬挂点，e=l2l.当=3，容易得到Z(G)=2，则Z(G)=(G)-1，这与假设矛盾.当4且n3n4n只有一个为零.由于G-v3-v-1得到一个强迫数为2的单圈图和2(-3)个路和推论 1，则Z(G)Z(G-v3-v-1)-(-3)=2(-3)+2-3整理可得Z(G)-1，则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当4且n3n4n至少有两个为零，此时GQ2，满足Z(G)=(G)-2.当n1=n2=0且3，则v1和v2都不是外部主顶点.令l，l1分别是Tv1和Tv2的唯一悬挂点，e=ll1.当D=3时，容易得到Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当4且n3n4n只有一个或者没有为零，由于G-v3-v得到一个强迫数为 2 的圈和2(-3)+1个路，结合推论 1 可得Z(G)Z(G-v3-vD)-(-2)=2(-3)+1+2-(-2)整理可得Z(G)-1，因此Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.如果n3n4nD至少有两个为零时，此时GQ1，满足Z(G)=(G)-2.2)dT(v1)=1,dT(v2)=2，见图7的(b).当n1n21且4，此时v1和v2都是外部主顶点.令l1，l2和l11，l12分别是v1和v2的两个终点，e=l2s，其中s是l11v2中的度为2的点.由于G-v得到一个强迫数为2的T(N1N2N3)(N11N21N31)和-2个路，结合引理1的1）和定理2得Z(G)Z(G-v)-1-2+2-1=-1则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当n11，n2=0且3，此时n3nD至少有1个为零且v1是外部主顶点和v2不是外部主顶点.令l1和l2是v1的2个终点，e=l2s，l是Tv2的唯一的悬挂点，其中s是lv路中的度为2的点.当=3，这个图不是路，结合引理2可得Z(G)2，则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当4且sv2，由于G-v得到一个强迫数为2的T(N1N2N3)(N11N21N31)和-2个路，结合引理3的1）和定理2可得Z(G)Z(G-v)-1(G)-1，这与假设矛盾.当4且s=v2，如果n3n4n只有一个为零，由于G-v3-v-1得到一个强迫数为2的单圈图和2(-3)个路，结合推论1可得Z(G)Z(G-v3-v-1)-(-3)=2(-3)+2-(-3)整理可得Z(G)-1，则Z(G)(G)-1,这与假设矛盾.如果n3n4n至少有两个为零，此时GQ3，满足Z(G)=(G)-2.图 7e没有端点是v的6类单圈图Fig.7 Six classes of unicyclic graphs with no endpoint v in e(a)d(v1)=d(v2)=1(b)d(v1)=1d(v2)=2(c)d(v1)=d(v2)=2(d)dT(v1)=3dT(v2)=1(e)dT(v1)=3dT(v2)=2(f)dT(v1)=dT(v2)=348涂东鑫：单圈图的零强迫数的极小值第2期当n1=n2=0，令e=ls，其中l，l1分别是Tv1和Tv2中的悬挂点，s是l1v中度为2的顶点.当=3，这个图不是路，结合引理2可得Z(G)2，则Z(G)(G)-1,这与假设矛盾.当4且n3n4n中只有一个或者没有为零.由于G-v3-v-1-v得到一个强迫数为2的单圈图和至少2(-3)+1个路，结合推论1的1）可得Z(G)Z(G-v3-v)-(-2)=2(-3)+1+2-(-2)整理可得Z(G)-1，因此Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当4且n3n4n中 至 少 有 两 个 为 零 且sv2，同 理 由 于G-v得 到 一 个 强 迫 数 为 2 的T(N1N2N3)(N11N21N31)和-2个路，结合推论1的1)可得，Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.若s=v2，此时GQ2，满足Z(G)=(G)-2.3)dT(v1)=2,dT(v2)=2，如图7的(c).当n10n20，或n10，n2=0，由于 G-v得到一个强迫数为2的T(m1m2m3;n100)和-2个路，结合引理1的1）可得Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当n1=n2=0，令e=ss1，其中l和l1分别是Tv1和Tv2中唯一的悬挂点，s，s1分别是lv和l1v的度为2的顶点.当=3，这个图不是路，结合引理2可得Z(G)2，则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当4且e=v1v2，如 果n3n4n至 少 有 两 个 为 零，此 时GQ3，满 足Z(G)=(G)-2.如 果n3n4n只有一个或者没有为零，由于G-v3-v-1得到一个零强迫数为2的单圈图和2(-3)个路，结合推论4得到Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当4且ev1v2，由于G-v得到一个强迫数为2的T(m1m2m3;n100)和-2个路，结合引理1得到Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.4)dT(v1)=3,dT(v2)=1，见图7的(d).此时n10，那么有2种情况：当n20，令l1，l2是T中v2的两个终点，e=v1l1.由于G-v得到一个强迫数为2的T(N1N2N3)(N11N21N31)和-2个路，同理得到Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.当n2=0，令e=v1l，其中l是Tv2中唯一的悬挂点.如果=3，此时GQ2，满足Z(G)=(G)-2.如果4，同 样 地，G-v得 到 一 个 强 迫 数 为 2 的T(N1N2N3)(N11N21N31)和-2个 路，则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.5)dT(v1)=3,dT(v2)=2，见图7的(e).此时n10.当n20且4，令e=v1s，l1和l2是树T中v2的两个终点，其中s是l1v2路中的度为2的顶点.同样地，G-v得到一个强迫数为 2 的T(m1m2m3;n100)和-2个路，结合引理 1 的 1），则Z(G)(G)-1.这与假设矛盾.当n2=0，令e=v1s，l是Tv2中的唯一悬挂点，其中s是lv路中的度为2的顶点.当=3，此时GQ3，满足Z(G)=(G)-2.当4，同样地，G-v得到一个强迫数为2的T(m1m2m3;n100)和-2个路，结合引理3的1），则Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.6)dT(v1)=3dT(v2)=3，见图7的(f)，此时n10n20，e=v1v2且4.同样地，G-v得到一个强迫数为2的T(m1m2m3;n100)(n11)和-2个路，结合引理1的1）可得Z(G)(G)-1，这与假设矛盾.证毕.参考文献：1 OBOUDI M R.On the zero forcing number of treesJ.Iranian Journal of Science and Technology Transaction A Science,2021,45(3):1065-1070.2 EDHOLM C,HOGBEN L.Vertex and edge spread of zero forcing number,maximum nullity,and minimum rank of a graphJ.Linear Algebra and Its Applications,2012,436(12):4352-4372.3 ROW D.A technique for computing the zero forcing number of a graph with a cut-vertexJ.Linear Algebra and Its Applications,2012,436(12):4423-4432.4 涂东鑫,陈鸿章.零强迫数为最大度的树图J.闽南师范大学学报(自然科学版),2022,35(3):13-18.责任编辑:钟国翔49