单位脉冲函数及其傅里叶逆变换在计算中的应用.pdf

第 卷第期年月 陕 西 国 防 职 教 研 究S h a a n x iG u o f a n gV o c a t i o n a lE d u c a t i o nR e s e a r c hV o l N o J u n e 收稿日期:作者简介:姜浩(),男,吉林白城人,硕士研究生,副教授,主要研究方向为基础数学教学.单位脉冲函数及其傅里叶逆变换在计算中的应用姜浩,解楠,何川美(航天工程大学士官学校,北京 昌平 )摘要:傅里叶变换是一种重要的数学工具,它在电力工程、无线电技术和各种线性系统中都有着广泛的应用.而单位脉冲函数是对于作用时间极短而强度极大的物理过程的理想描述,它没有普通意义下的函数值,通过单位脉冲函数的筛选性得到其傅里叶逆变换,从而可以利用所得结论极大简化某些傅里叶积分计算问题,为更好学习后续内容起到开拓思维,更好更灵活掌握该部分内容的作用.关键词:傅里叶变换;单位脉冲函数中图分类号:O 文献标识码:A文章编号:S Y ()预备知识 傅里叶变换与逆变换的定义若函数f(t)满足傅里叶积分定理中的条件,则在f(t)的连续点处,有f(t)f()ei d ei td()成立.设F()f(t)ei td t()则f(t)F()ei td()其中()式称为f(t)的傅里叶变换式,记为F()F f(t),F()叫做f(t)的象函数,()式称为F()的 傅 里 叶 逆 变 换 式,记 为f(t)F F(),f(t)叫做F()的象原函数.这样,f(t)与F()构成了一个傅里叶变换对.单位脉冲函数的定义及筛选性 单位脉冲函数的定义设(t)ttt()则单位脉冲函数定义为当时的极限,即(t)l i m(t).单位脉冲函数的筛选性质对任意的连续函数f(t),都有(t)f(t)d tf()()这个性质称为函数的筛选性质.它表明,尽管函数本身没有普通意义下的函数值,但它与任何一个连续函数的乘积在上的积分都有确定的值.这一性质使得函数在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用,下面我们证明这个性质.证明:由(t)l i m(t),可得(t)f(t)d tl i m(t)f(t)d tl i mf(t)d t根据连续函数在闭区间上的积分中值定理,可得l i mf(t)d tl i mf()l i mf()其中(,),再由必有,以及函数f(t)的连续性可得l i mf()f(),即可得(t)f(t)d tf()单位脉冲函数的傅里叶变换与逆变换由单位脉冲函数的筛选性可以很方便地求出函数的傅里叶变换及逆变换.F()F(t)(t)ei td tei tt(t)F ei td 可见,(t)与常数构成了一个傅里叶变换对,同理,(tt)和ei t也构成了一个傅里叶变换对,并且我们由函数的傅里叶逆变换等式还可以得到一个很重要的公式ei td (t)()我们知道,()式左端积分是不可积的,无法用初等函数来表示,但是却可以用单位脉冲函数这个广义函数来表示,这就给我们计算其他函数的傅里叶变换带来了极大的便利.典型例题解析例:求f(t)s i nt的傅里叶变换.解:首先利用欧拉公式并由()式可知有F()Fs i nts i nt ei td tei tei tiei td tiei()tei()td tiei()td tei()td t再利用公式可得ei()td t()ei()td t()根据函数为偶函数整理可得F()Fs i nti()()i()()i()()从本例可以看出,单位脉冲函数的傅里叶变换与逆变换,在傅里叶变换的积分运算中,有着重要的应用,使得解法非常灵活,掌握这种灵活的思维方法对于学好傅里叶积分,以至于学好后续关于信号分析处理的章节大有裨益.A p p l i c a t i o no f t h eU n i tP u l s eF u n c t i o na n dI t s I n v e r s eF o u r i e rT r a n s f o r mi nt h eC a l c u l a t i o nJ I ANGH a o,X I EN a n,HEC h u a n m e i(S e r g e a n tS c h o o l o f A e r o s p a c eE n g i n e e r i n gU n i v e r s i t yC h a n g p i n gB e i j i n g )A b s t r a c t:F o u r i e r t r a n s f o r mi sa ni m p o r t a n tm a t h e m a t i c a l t o o l i np o w e re n g i n e e r i n g,r a d i ot e c h n o l o g ya n dv a r i o u s l i n e a rs y s t e m s A n du n i tp u l s ef u n c t i o ni sf o rv e r ys h o r tt i m ea n ds t r e n g t hi d e a ld e s c r i p t i o no fp h y s i c a l p r o c e s s,i th a sn oc o mm o ns e n s eo f f u n c t i o nv a l u e,t h r o u g ht h eu n i tp u l s e f u n c t i o ns c r e e n i n gt h eF o u r i e r i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n,w h i c hc a nu s e t h ec o n c l u s i o ng r e a t l ys i m p l i f ys o m eF o u r i e r i n t e g r a l c a l c u l a t i o np r o b l e m s,f o rb e t t e r l e a r n i n gs u b s e q u e n t c o n t e n to fp i o n e e r i n gt h i n k i n g,b e t t e rm o r e f l e x i b l eg r a s pt h ep a r to f t h ec o n t e n t K e yW o r d s:F o u r i e r t r a n s f o r m;U n i t i m p u l s e f u n c t i o n参考文献孙旭东工程应用数学(下册)M武汉:华中科技大学出版社,汪宏远,孙立伟积分变换M北京:清华大学出版社,陕 西 国 防 职 教 研 究