奥数之表面积与体积.doc

奥数之表面积与体积（一）专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。例题1：从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。 按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。 按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。 练习1：1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？例题2：把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）2来计算。（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。练习2：1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？例题3：把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个97的面。（99+94+74）22972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米） 答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。练习3：1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？例题4：一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。我们知道：体积=长宽高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽高=402=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长高=903=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长宽=964=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米）。即402=20（平方厘米）903=30（平方厘米）964=24（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米） 答：原 长方体的表面积是148平方厘米。练习4：1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？例题5：如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。 如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）答：这个物体的表面积是32.97平方米。练习5：1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（取3.14）。 答案：练11、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个11的正方形，新增加了左右下面三个11的正方形，所以表面积大小不变。2、 44622292平方厘米3、 中心挖去的洞的体积是：12331327立方厘米，挖洞后木块的体积：33720立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是124123平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）672平方厘米。练21、 从三个不同的方向看，得到图答271： 从上往下看 从前往后看 从左往右看 （1112+118+117）254平方厘米2、 （229+229+227）2200平方厘米3、 因为64444，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的表面积是小正方体的4416倍，小正方体的表面积是：3841624平方厘米练31、 将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30615平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30615平方厘米，所以大长方体的表面积是30+30+635平方厘米。2、 要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答272两种：表面积都是（33+342）266平方厘米。3、 设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x2平方分米。其余的面积为2x2平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x2+82x2600 x5大长方体的体积是：5525250立方分米练41、 （482+655+964）2122平方厘米2、 减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个合并起来，用120（2+3）24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是2446厘米。圆长方体的体积是：66（6+3+2）396立方厘米3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长（宽+高），2091119，所以长11，宽+高19，或长19，宽+高11，根据题意，宽和高只能是17和2，长方体的体积就是11172374练51、 4026+3.1441029651.2平方厘米2、 用两个同样的工件可拼成图答273的圆柱体。3.1415（46+54）22355平方厘米3、 立方体的表面积和是：610242423.14（）2510.88平方厘米打洞后增加的面积是：3.144（104）+4（104）42+4223.14（）22274.24平方厘米表面积是：510.88+274.24785.12平方厘米体积是：10342102+433.14（）2（104）668.64平方厘米