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第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
1. 线性相位条件
对于长度为的，传输函数为

称为幅度特性，称为相位特性。
线性相位是指是的线性函数，即，为常数。
如果满足：，是起始相位。严格地说，此时不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即
也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。满足第一类线性相位的条件是：是实序列且对偶对称，即
满足第二类线性相位的条件是：是实序列且对奇对称，即

(1) 第一类线性相位条件证明
令，则有

按照上式可以将H(z)表示为

所以，
第二类线性相位条件

同样，

因此，幅度函数和相位函数分别为

2.线性相位FIR滤波器幅度特性的特点
1) ,N=奇数

2), N为偶数

3),N=奇数

4）,N=偶数

3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点

4. 线性相位FIR滤波器网络结构
设N为偶数，则有

如果N为奇数

第一类线性滤波器

第二类线性滤波器
7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器
设希望设计的滤波器传输函数为,是与其对应的单位脉冲响应。

为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将截取一段，并保证截取的一段对对称。设截取的一段用表示，即

其中，和分别是和的傅里叶变换，

如果

通过以上分析可知，对加矩形窗处理后，和原理想低通的差别有以下两点：
(1)在理想特性不连续点处附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于的主瓣宽度，即。
(2)通带内增加了波动，最大的峰值在处。阻带内产生了余振，最大的负峰在处。
在主瓣附近，可近似为
几种常用的窗函数：
1、 矩形窗：

2、三角形窗

其频率响应为

3、汉宁(Hanning)窗——升余弦窗

当N很大时，
4、哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗

频域函数为

当N>>1时，可近似表示为：

5、布莱克曼(Blackman)窗

其频域函数为

其幅度函数为

6、凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)

用窗函数设计FIR滤波器的步骤：
（1）根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应；如果给出待求滤波器的频响为，那么单位取样响应用下式求出：
，
根据频率采样定理：
(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度。
(3) 计算滤波器的单位取样响应，

(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算

例 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设.
解 用理想低通作为逼近滤波器，

用汉宁窗设计

用布莱克曼窗设计

7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器：
必须利用计算机进行处理运算
1、IIR与FIR数字滤波器的比较
IIR滤波器存在着输出对输入的反馈，因此可以用比FIR滤波器少的阶数来满足技术指标，这样，IIR滤波器所用的存储单元和所需的运算次数都比FIR滤波器少。
例如用频率抽样法设计阻带衰减为－20dB的FIR滤波器，其阶数要33阶才能达到要求，而如果用双线性变换法设计一个切比雪夫IIR滤波器，只需4-5阶就可以达到同样的指标，所以FIR滤波器的阶数要高5－10倍。
FIR滤波器可得到严格的线性相位，而IIR滤波器则做不到这一点。IIR滤波器的选频特性越好，则相位的非线性就越严重。如果要求IIR滤波器具有线性相位，同时又要求它满足幅度要求，那么就必须用一个全通网络进行相位校正，这必然会大大增加滤波器的节数和复杂性。因此在需要严格线性相位的情况下应该选择FIR滤波器。
IIR滤波器必须采用递归结构实现，只有当所有极点都在单位圆内时滤波器才是稳定的。但实际中由于存在有限字长效应，滤波器有可能变得不稳定。而FIR滤波器主要采用非递归结构，因而从理论上以及从实际的有限精度的运算中，都是稳定的。另外，FIR滤波器可以采用快速傅立叶变换（FFT）来实现，在相同阶数下，运算速度可以快得多。
IIR滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。FIR滤波器没有现成的设计公式，窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。一般，FIR滤波器的设计只有计算机程序可以利用，因此对计算工具要求较高，要借助计算机来设计。另外，IIR滤波器主要是设计规格化的、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通、带阻和全通滤波器，而FIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性较广。