第十章曲线积分和曲面积分.doc

第十章 第十章 曲线积分和曲面积分

一、 一、基本内容

（一）第一型曲线积分与曲面积分
1.第一型曲线积分
（1）第一型曲线积分的定义

若是封闭的，则记作．
(2) 第一型曲线积分的计算

2.第一型曲面积分
（1）第一型曲面积分的定义

（2）第一型曲面积分的计算

（二）第二型曲线积分
1第二型曲线积分的定义
设，
当，，都存在时，
其中是的单位切向量，
称为一般形式的第二型曲线积分.
2. 第二型曲线积分的计算

3.格林公式及其一些命题
（1）格林公式

（2）若、、、在单连通域上均连续，则下列四个命题等价：
1) 只依赖于区域内的起点与终点，而与连结、的积分路径无关；
2) 在区域上，是某一个函数的全微分，且

点是内的某一定点，点是内的动点；
3) 在区域上的每一点处都成立；
4)，其中是内的任意一条逐段光滑的闭曲线．
（三）第二型曲面积分
1.第二型曲面积分的定义
称为一般形式的第二型曲面积分，当是闭曲面时，积分号将写成．
2. 第二型曲面积分的计算
,
同理计算,．
3.奥-高公式与斯托克斯公式
（1）
（2）

4..向量场的散度与旋度
称为散度,
称为旋度．
二、练习题

10.1计算下列第一型曲线积分：
（1）计算,其中为连接，，的直线段所围成的围线．
解：如图10-1，；
O

1

1

A

B

x

y

图10-1

；
．

．
（2），其中为摆线，的第一拱．
解：摆线的第一拱，则．

．
（3），其中是．
解：是关于的奇函数,而是关于轴对称.
由第一型曲线积分的对称性知：
．
(x,y)

a/2

a

x

y

O

t

图10-2

（4），其中为圆周．
解：如图10-2，方程为：
，其中．
原式
．
（5），其中为圆周．
解：的参数方程为：
．
．
．
z

O

B

a

x

A

C

y

a

a

图10-3

（6）计算球面在第一象限上的边界曲线的形心．
解：不妨假设，如图10-3，
．
．

其中
；
；
．
．
故．
又由于图形的对称性知．
（7）设的方程为，其线密度，求对于原点处的单位质点引力．
解：的极坐标方程为，
，
，
．

．
由对称性知．
10.2计算下列第二型曲线积分：
（1），为抛物线．
解：原式
．
（2），其中为抛物线段，为直线．
解：原式

．
（3），为沿参数增加的方向进行的曲线
．
z

O

B

1

x

A

C

y

1

1

图10-4

解：原式

．
（4），为球面的第一象限中的部分
的边界，当沿着它的正向进行时曲面的外面保持在左方．
解：如图10-4，由对称性知原积分为
．
，从到．
原积分
．
（5），是从沿曲线到点．
解：补充直线段，从到．
原积分

．
（6），其中为域的正方向的周线．
解：由格林公式，

．
（7），为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线．

图10-5

解：（1）若原点不在所围的区域内，直接应用格林公式

（2）若原点在所围成的区域内，如图10-5，在原点附近作一个充分小的圆周，其方向为顺时针方向，设与所围成的复连域为，则

．
（8）．
解：．
故积分与路径无关．
1

A

3

x

y

o

-1

B(3,-1)

图10-6

C

如图10-6，选取路径，计算积分．
原积分

．
（9）．
1

O

B(1, )

x

y

图10-7

A

解：，故积分与路径无关，
如图10-7，选取路径计算积分．
原积分

．
10.3计算下列第一型曲面积分：
2

图10-8

（1），是在第一象限的部分．
解：，
．
如图10-8，

．
a

图10-9

（2），是
的表面．
解：如图10-9，取．
取，
．
则

．
(3)设曲面的面密度为，求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量．
解：由对称性知：．
．
．

．
故质心坐标为．

．
由对称性知．

．
10.4计算下列第二型曲面积分：
(1),是由与所围成的立体的表面内侧．
解：由高斯公式知
．
（2），是由，及所围成立体表面外侧．
解：由高斯公式

．
（3），为球面
的外侧．
解：．
由对称性知．
故原积分
设，，，
则仍有．
．
（4）求向量穿过曲面为的全表面流向外侧的流量．
解：．

三、测验题

1. 1.      填空
（1）是曲线，其周长为，则等于 ．
解：由积分的对称性知，又即：，
故．
（2）是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为，则
．
解：由格林公式，．
（3）.（4）略．
2. 2.      选择
（1）.（2）.（3）略．
（4），其中是平面被柱面
所截得部分的上侧，则等于（）．
A. B. C. D.，．
故，，，
有，，．

．
选取坐标：，，则．
，应选B．
3. 计算下列各题
（1），其中是从沿，到．
解：补充直线段，，其中．

．
(2)求摆线， 的弧的重心．
解：．
．

．

．
故，．
（3）计算，其中是从轴正向看的方向为顺时针方向．
解：取为被所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根
据斯托克斯公式有：

．
（4），其中是在的第一象限部分的下侧．
解：补面，
，，，，取上侧；
，，，取左侧；
，， ，取后侧．

．