高数第十章线面积分习题和答案.doc

第十章曲线积分曲面积分练习题
A组
一.填空题
1. 设L是 上从经到的曲线段，则=
2.设是从M(1,3) 沿圆 至点 的半圆，则积分
=
3. L是从沿 至点 的曲线段，则 =
4. 设L是从 沿 至点)的曲线段，
则 =
5. 设L是 及 所围成的区域D的正向边界，则
+ =
6. 设L是任意简单闭曲线，为常数，则 =
7. 设L是平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面区域D的面积等于
8. 常数 k = 时， 曲线积分与路径无关。
9.设S是球面 ，则对面积的曲面积分 =
10.设L为, 和为顶点的三角形围成的线，
则对弧长的曲线积分 =
11. 设L是从点到的一条线，则=
12. 设L是圆周 , ，则=
13. 设S为曲面， 则=
二、选择题
1．设，且P,Q在域D内具有一阶连续偏导数，又L：是D内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）
A．若与路径无关，则在D内必有
B．若与路径无关，则在D内必有单值函数，
使得
C．若在D内，则必有与路径无关。
D．若对D内每一闭曲线C，恒有，则与路径无关。
2．已知为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3、设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且，则=（ ）
A．3/8 B．1/2 C．3/4 D．1
4．设S是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分的值是（ ）
A．0 ; B．; C． ; D．p
5.设空间区域由曲面与平面围成，其中为正的常数，记的表面外侧为S，的体积为V，则= （ ）
A．0 B．V C．2V D．3V
6. 已知曲线C： 逆时针方向一周，则=（ ）
A. 0； B. ； C. ； D.
7. 已知为平面 在第一卦限内的下侧曲面，则=（ ）
A. ； B.
C. ； D.
8. 单连通区域G内，具有连续的一阶偏导数，则曲线积分与路径无关的充要条件是（ ）
A 在G内有一闭曲线 g，使； B 在G内有恒有
C. 在G内有另一曲线C，使；
D. 在G内有恒有
9. 设S为平面 在第一卦限内的部分，则=（ ）
A ； B. ；
C.； D.
10. 设L：，则（ ）
A. 与L取向无关，与大小有关； B. 与L取向无关，与大小无关；
C. 与L取向有关，与大小有关； D. 与L取向有关，与大小无关；
三、计算题
1. 计算曲线积分，其中L是圆周 在第一象限中的部分，依逆时针方向。
2. 计算，其中是上半球面上侧
3. 设L是由 所表示的正向椭圆，
计算 I =
4．计算，L是点与直线段
5．计算，L是以，，，为顶点的三角形闭回路。
6．计算，L为圆周
7．计算，L是圆周的闭路
8.计算，L分别为下列三种情形。
1）从点经到
2）从点经到
3）从点经到
9．计算，L是由直线,,,围成的逆时针闭路。
10．计算，其中,L是由,及所围成的三角形逆时针闭路。
11．计算，L是由与，所围成的逆时针闭路。
12.计算，L是以,,为顶点的三角形正向闭路。
13.计算，L是沿椭圆的正向闭路。
14.计算，：平面
15.计算，S：在第一卦限
16计算，：在第一卦限部分。
四．应用题
1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。椭圆,
2.设半径为r的球面的球心在定球面 ()上, 问当r取何值时, 球面在定球面内部的哪部分面积最大?
3．在过点和的曲线族 ,()中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分的值最小
4.求，式中为由至的
设连续可导，求，式中C是从到的直线段。
五 证明题
1. 设函数f(x)在( -¥,+¥)内具有一阶连续导数，L是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，
记
（1） 证明曲线积分I与路径L无关；（2）当时，求I的值
2. 设L2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：。
A组答案
一、1. 0；2. 0；3. 0提示： ；4.0,提示：；5. 3/10；6. 0；7. 3/2；8. 2；9. ；10. ；11. ；12. ；13.0；
二、 1.C 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B；7. A；8. D；9. D；10. D
三、1、 3、0 4、 5、 6、2R2 7、
8、1 9、32 10、1 11、+ 12、-1 13、
14、 15、 16、
四、1、 2、 3、 是使曲线积分的为最小的曲线。 4、 5、-4
B组
一、填空题：
1、设是顺时针方向的椭圆,其周长为,则 .
2、设曲线C为的交线，从原点看去C的方向为顺时针方向，则 .
3、计算，其中.
4、设，则 .
5、设为曲面的外侧，则= .
二、解答题：
6、计算，为逆时针方向绕圆周一圈的路径。
7、设函数具有连续的二阶导数，且，试确定函数，使
，其中是不与轴相交的简单正向闭路径。
8、计算，其中是由曲线绕轴旋转成的旋转曲面。
9、空间立体由所围成，的边界面。
（1）求曲面积分；（2）若有均匀密度（常数），求。
10、设为连续函数，为平面上逐段光滑的闭曲线，证明：

B组答案：1．　　2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9．(1)；(2)