第十章-曲线曲面积分(习题及解答).doc

高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 22 页 学院 专业
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第十章 曲线曲面积分
§10．1对弧长的曲线积分
一、选择题
1. 设曲线弧段为，则曲线积分有关系( ).
； ； ； ． 答.
2. 设有物质曲线其线密度为,它的质量( ).
; ;
; . 答.
3.设是从到的直线段,则与曲线积分不相等的积分是( ).
; ;
; 答.
4 .设是从到的直线段,则曲线积分( ).
; ;
; . 答.
5. 设为抛物线上从点到点的一段弧,则曲线积分( ).
; ;
; . 答.
6. 设是从到的直线段,则曲线积分( ).
; ; ; . 答.
二、填空题
1. 设是圆周,则与的大小关系是

答:
2. 设是连接与两点的直线段, 则
答：.
3. 设则 答：.
4. 设则 答：.
5. 设是圆周,则
答：.
6. 设,上相应于从变到的这段弧,则曲线积分
答: .
7. 设为曲线上从点到点的弧段,
则
答：.
三、解答题
1.计算下列对弧长的曲线积分：
(1) 其中为由直线与抛物线所围区域的整个边界.
答： .
(2) 其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
答：
(3) ，其中为折线，这里依次为点、、、.
答：.
(4) 其中为摆线一拱.
答：
(5) 其中为曲线.
答：
§10．2对坐标的曲线积分
一、选择题
1. 设为由到的直线段,则( ).
; ; ; . 答.
2. 设表示椭圆,其方向为逆时针,则 ( ).
; ; ; . 答.
3. 设为由到的直线段,则
( ).
；
; . 答.
4. 设曲线的方程为,
则( )
；
; .答.
5. 设连续可导,为以原点为心的单位圆,则必有( ).
；
; .答.
6. 设是从沿折线到到的折线段,则( )
; ; ; . 答.
二、填空题
1. 为平面内直线上的一段,则
答：.
2. 设为上从到的一段弧,则
答：.
3. 设为上从到的一段弧,则
答：.
4．为圆弧上从原点到的一段弧,则
答：.
5．设为圆周及轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则
答：.
6．设,其中为平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则所围成的平面区域的面积等于
答：.
三、解答题
1．计算,其中为:
(1) 抛物线上从到的一段弧;
(2) 从点到点的一直线段;
(3) 先沿直线从点到点,然后再沿直线到点的折线;
(4) 曲线上从点到点的一段弧.
答案：
2．计算其中为圆周上对应从0到的一段弧.
答：0.
3．计算,其中为圆周(方向按逆时针).
答：.
4．计算其中为从点到点的直线段.
答：13.
5. 计算,其中是上从点到点的一段弧.
答：.
§10．3 格林公式
一、选择题
1. 设是圆周,方向为逆时针方向,则用格林公式计算可化为( ).
； ;
; . 答.
2. 设是圆周,方向为负向,
则= ( ).
; ; ; . 答.
3. 设是从沿折线到到的折线段,则( )
; ; ; . 答.
4. 设在单连通区域内具有一阶连续偏导数,则在内与路径无关的充分必要条件是在内恒有( ).
; ;
; . 答.
5. 设为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线,
则( ).
; ; ; . 答.
6. 设为一条包含原点在内的简单闭曲线,则( ).
因为,所以; 因为不连续,所以不存在;
; 因为,所以沿不同的,的值不同. 答.
7. 表达式为某函数的全微分的充分心要条件是( ).
; ;
; . 答.
8. 已知为某函数的全微分,则( ).
; ; ; . 答.
9. 设是从点到点的直线段,
则( ).
; ;
; .
答.
10*. 设连续可导,且,曲线积分
与路径无关,则( ).
; ; ; . 答.
二、填空题
1. 设区域的边界为,方向为正向, 的面积为.
则.
答: .
2. 设在上具有二阶连续偏导数, 是的边界正向,则.
答: .
3. 设是圆周,方向为逆时针,
则.
答: .
4. 设为闭曲线方向为逆时针,为常数,
则=.
答: .
5. 设为以点为顶点的正方形逆时针方向一周,则=.
答: .
6. 设为圆周上从到再到的曲线段,则.
答: .
7. .
答: .
8. 设为直线从到的一段,
则.
答: .
9*. 设为抛物线上一段弧,试将积分化为对弧长的曲线积分,其中在上连续.
答: .
10*. 设连续可导,且,曲线积分
与路径无关,则= .
答: .
三、解答题
1. 计算，其中为圆周的正向.
答:.
2. 计算，其中是顶点分别为、和的三角形正向边界.
答:.
3. 计算,其中为抛物线上由点到的一段弧.
答:.
4. 计算，其中是圆周上由到的一段弧.
答:.
5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值:
(1) .
答:.
(2) .
答: 5.
6. 验证下列在整个平面内是某函数的全微分,并求函数.
(1) .
(2) .
(3) .
答: (1) ; (2) ; (3).
7. 用格林公式计算，其中是圆周
上由到的一段弧.
答:.
8. 用格林公式计算，其中是圆周
上由到的一段弧.
答:.

§10．4 对面积的曲面积分
一、选择题
1. 设是平面上的一个有界闭区域,则曲面积分与二重积分的关系是 ( ).
=;=;
;.
答.
2. 设是抛物面,则下列各式正确的是( ).
=;
=;
;
. 答.
3.设,是在第一卦限中的部分,则有( ).
; ;
; . 答.
4. 设是锥面,则( ).
;
;
;
;. 答.
5. 设为平面在第一卦限内的部分,
则( ).
; ;
; ;. 答.
6. 设为曲面在平面上方的部分,则( ).
; ;
; . 答.
7. 设为球面,则下列等式错误的是( ).
; ;
; . 答.
二、填空题
1. 设,则.
答: .
2. 设为球面,则.
答: .
3. 设为上半球面,则.
答: .
4. 设为下半球面,则.
答: .
5 设为球面,则.
答: 2.
6. 设为上半球面,则.
答: .
7. 设为平面在第一卦限部分,则.
答: .
8. 设为平面在第一卦限部分,则.
答: .
9. 设为平面在第一卦限部分,
则.
答: .
三、解答题
1. 计算曲面积分,其中为抛物面在面上方部分,分别如下:
(1) ; (2) ; (3) .
答: (1) ; (2) ; (3) .
2. 计算,其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.
答: .
3. 计算,其中是锥面被平面和所截得的部分.
答: .
4. 计算,其中为平面在第一卦限中的部分.
答: .
5. 计算,其中为球面上的部分.
答: .
§10．5 对坐标的曲面积分
一、选择题
1. 设是球面外侧,,则下列结论正确的是( ).
;
2;
0; 都不对. 答.
2. 设为柱面被平面及所截得的部分外侧,则( ).
; ;
0; . 答.
3. 设为柱面被平面及所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则( ).
; ;
; . 答.
4. 设,,取外侧, 取上侧.下列结论正确的是( ).
;
;
; . 答.
5. 已知为平面在第一卦限内的下侧,则( ).
; ;
; . 答.
6. 曲面积分在数值上等于( ).
向量穿过曲面的流量;密度为的曲面的质量;
向量穿过曲面的流量;向量穿过曲面的流量. 答.
二、填空题
1. 设是平面上的闭区域的上侧,
则
答: 0.
2. 设是平面上的闭区域的上侧,
则
答: 1.
3. 设为球面取外侧, 则.
答: 0.
4. 设为球面取外侧, 则.
答: .
5. 设为球面取外侧, 则曲面积分.
答: .
6. 设为球面取外侧, 则
答: 0.
三、解答题
1. 计算,其中是球面的下半部分的下侧.
答: .
2. 计算,其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧.
答: .
3. 计算,其中是平面,,,及所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
答: .
4*. 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分,其中:
(1) 是平面在第一卦限部分的上侧.
(2) 是抛物面在面上方部分的上侧.
答: (1) ; (2) .
§10．6 高斯公式
一、选择题
1. 设空间闭区域的边界是分片光滑的闭曲面围成, 取外侧，则的体积( ).
; ;
; .答.
2.设是长方体的整个表面的外侧,则( ).
; ; ; . 答.
3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
;
;
;
.答.
4. 若是空间区域的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).
;
;
;
. 答.
二、填空题
1. 设是球面外侧, 则
答: .
2. 设是球面外侧, 则
答: .
3. 设是长方体的整个表面的外侧,则.
答: .
4. 设是长方体的整个表面的外侧,则.
答: .
5. 向量穿过圆柱全表面流向外侧的通量.
答: .
6.向量穿过球面
流向外侧的通量.
答: .
三、解答题
1. 计算,其中为平面,,及
,,所围成的立体的表面外侧.
答: .
2. 计算,其中为球面外侧.
答: .
3. 计算,其中为上半球体,的表面外侧.
答: .
4. 计算,其中是界于和之间的圆柱体的整个表面外侧.
答: .
5. 计算,其中是平面,,与平面,,所围成的立方体的全表面外侧.
答: .
6. 计算,其中为曲面与平面所围成的立体的表面外侧.
答: .
7. 计算曲面积分 ,其中为曲面与球面所围成的立体的表面外侧.
答: .
8. 计算曲面积分 ,其中为由曲面与平面所围成的空间区域的整个边界表面外侧.
答: .
9*.用Gauss公式计算曲面积分,其中是旋转抛物面介于平面及之间部分的下侧.
答: .
§10．7 斯托克斯公式
一、选择题
1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
;
;
;
. 答.
2. 设是从点到点再到最后回到的三角形边界(),则( ).
; ; ; . 答.
3. 设为圆周,若从轴正向看去, 为逆时针方向.则( ).
; ; ; 0. 答.
二、填空题
1. 设为圆周,若从轴正向看去, 为逆时针方向..
答: .
2. 设,
则(1) .
答:
(2) .
答: .
(3) .
答: .
3. 设向量场,则.
答: .
4. 设向量场,
则.
答: .
三、解答题
1. 计算,其中为圆周,若从轴正向看去, 为逆时针方向.
答: .
2*. 计算,其中为椭圆,
,若从轴正向看去, 为逆时针方向.
答: .
3. 计算,其中为圆周,若从轴正向看去, 为逆时针方向.
答: .
4. 计算,其中为圆周,若从轴正向看去, 为逆时针方向.
答: .
5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分,并计算积分值,其中、及分别如下:
(1) ,为上半球面的上侧, 是的单位法向量.
(2) ,为的表面外侧去掉平面上的那个底面,, 是的单位法向量.
答: (1) . (2) .