推理与证明周测.doc

推理与证明
一、选择题
1．将正整数排成下表：
1

2
3
4

5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15
16

　　…　…
则在表中数字2010出现在(　　)
A．第44行第75列 B．第45行第75列
C．第44行第74列 D．第45行第74列
[答案]　D
[解析]　第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．
又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.
2．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　设三棱锥的内切球球心为O，那么由VS－ABC＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，
即V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r， 可得r＝.
3．若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)＝tanx在上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC的最小值是(　　)
A．3 B. C．3 D.
[答案]　C
[解析]　根据f(x)＝tanx在上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA＋tanB＋tanC≥3tan＝3tan＝3.故所求的最小值为3.
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则f(－x)＝(　　)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案]　D
[解析]　观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.
5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为(　　)

………………………………
A. B. C. D. [答案]　A
[解析]　第6行从左到右各数依次为，，，，，，第7行从左到右各数依次为，，，，，，，故选A.
6．下列几种推理过程是演绎推理的是
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
7．若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a<b及a＝b中一定有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
解析　①②正确，③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3. 答案　C
8．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(　　)
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60° [答案]　B
二、填空题
9.观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．
[答案]　13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
[解析]　由13＋23＋33＋…＋n3＝[]2知n＝6时为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
10．(2010·福建文)观察下列等式：
①cos2α＝2cos2α－1；
②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
[答案]　962 [解析]　由题易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50
m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，
∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.
11．(文)设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2011的值为________.
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
4
5
1
2
6
3
[答案]　5
[解析]　由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期为6的周期数列，∴x2011＝x1＝5.据此可知，{xn}周期为6，∴x2011＝x1＝5.
12．(文)(2010·湖南文)给出下面的数表序列：
表1　　　　　表2　　　　表3　　　　…
　　　1　　　　　 1　3　　　1　3　5
　　　　　　　　　 4　 　　　4　8
　　　　　　　　　　　　　　　 12
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，
[解析]　表4为1　3　5　7
4　8　12
12　20
32
三、解答题
13．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：
(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.
(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.
[解析]　(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.
(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，
∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.
14. 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
分析：要证明三角形ABC为正三角形，可证三条边相等或三个角相等．
证明：由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①
因为A、B、C为△ABC的内角，
所以A＋B＋C＝π.②
由①②得，B＝.③ 由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③可得， b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.
再由④得，a2＋c2－ac＝ac. 即(a－c)2＝0，因此a＝c.
从而有A＝C.⑤
由②③⑤得，A＝B＝C＝.
所以△ABC为等边三角形