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平板式电容传感器的工作原理和数学模型

大家都知道，在电容器中加入不同的电介质，会使得电容器有不同的电容量。利用这一性质，人们已经制造出了许多具有不同用途的电容传感器。诸如测量液位、压力、位移[1]、加速度、介电常数[2][3]、含水量[4][5]等的电容传感器都是利用电容器的这一特性制造的。它们通常具有体积小、结构简单、响应时间短、分辨率高等突出优点。而且由于检测头结构简单，所以能接受相当大的温度变化及各种辐射作用，可在强烈振动等恶劣条件下工作。 近些年来电容传感器受到人们的广泛关注，它是一类为较理想的检测仪器。本文将要研究的平板式电容传感器就属于电容传感器。
本文作者查阅了大量的关于电容传感器的相关文献。但发现虽然对于该类传感器的研究工作，已有一些文献发表，但多数研究工作是在对该类电容传感器所产生的静电场中电力线、电位等物理量的性质作了一定的人为假设的前提下进行的。而这些人为假设与实际情况都是有一定的差距的。所以得到的数学模型可以说都是些近似模型，所得结果也会有较大的误差，如[3]中近似地用半圆弧线代替电力线的真实曲线。[2]中用二维场中的拉普拉斯方程代替真实的三维空间的拉普拉斯方程来描述该类电容传感器所产生的静电场的电位分布。这样都会给研究结果带来误差。针对这一情况，本文作者已经在前期研究了电容传感器的普遍原理。利用静电场及场中导体和电介质、电容器等的相关理论，经过严密的数学推导，建立了该类电容传感器的精确的偏微分方程数学模型，来确定检测电容影响的静电场的电势。但是当被测物体的形状、检测电容的两极的形状为任意的形状时，所建偏微分方程模型的精确解往往难以求得。通常可用数值计算得到其近似解，再利用所求近似解对该类电容传感器的工作状况进行研究。
本文将介绍的平板式电容传感器是用来测量木材含水率的高精度仪器。由于象木材这样的电介质的含水量可直接影响电介质的介电常数。在一定的条件下木材的介电常数可以被它的含水量惟一确定，并且介电常数和含水量的对应关系是一对一的，所以在特定的条件下可以利用该电容传感器先测量出木材的介电常数，再间接地得到木材的含水量。
本文以一种特殊尺寸的平板式电容传感器为例，利用数值分析的方法对本文所建立的偏微分方程数学模型，构造了便于计算和研究的离散近似模型。利用该近似模型对该类电容传感器的工作状况进行了论分析，得到了相关结论。文中所用方法可以方便地推广到具有一般尺寸和结构的平板式电容传感器上去。

1、平板式电容传感器的工作原理及相关静电场的理论
针对平板式电容传感器的特点，首先讨论其工作原理。
平板式电容传感器的结构简图如下图所示。首先取两金属片作为检测电容器的两极，并固定在某特定的空间位置，如图中的。则在两检测电容器电极间的电容量将受到周围环境的影响，当周围的其它环境不变时，如果把被测的木材放入检测电容器两极形成的电场中，假设被测物体的尺寸、形状都是确定的，检测电容的电容量将由被木材的介电常数唯一确定。且该电容量为介电常数的一对一的单值函数。所以可以通过测量检测电容器的电容量，来得到木材的介电常数。又因为在一定的条件下木材的介电常数可以被它的含水量惟一确定，并且介电常数和含水量的对应关系也是一对一的，所以当其它条件不改变时，可以利用该电容传感器先测量出木材的介电常数，再利用测量出的木材介电常数得到木材的含水量。这就是平板式电容传感器的简单工作原理。
而上述获得木材含水量的方法中，一个关键的问题是找出检测电容器的电容量与被测木材的介电常数之间的函数关系。由于检测电容器的电容量是和很容易测得的。所以只要得到了检测电容器的电容量与被测木材的介电常数之间的函数关系，就可以方便的得到木材的含水量。
在一般的电磁学理论书籍中，通常都是针对平行、圆柱形、球形等特殊形状的电容器（有时还要忽略边缘效应），对电容器的结构尺寸作一些假定，近似给出电容器中电场的场强分布等，最后得到电容器的计算公式。但这种方法不便于推广到具有任意结构形状的检测电容器上。

图1 平板式电容传感器的结构简图

本文的主要内容就是要利用静电场的相关理论，通过严格的数学推导，得到确定检测电容器的电容量与被测木材的介电常数之间关系的精确数学模型和计算公式。而这一方法还要可以推广到具有任意结构形状的电容器上去。
下面再给出本文所需的静电场的相关概念和理论。至于这些理论的推导过程，请读者查找物理学中的相关内容。
（1）、带电量为的点电荷产生的电场分布为，其中和分别为由指向讨论点的空间矢量对应的单位矢量和模，为该电介质的介电常数。
（2）、由电荷产生的场强分布具有可叠加性。
（3）、在电场中假想有一组曲线，曲线上任意一点的切线方向，恰好是该点电场强度的方向，而垂直于电场强度的方向上单位面积穿过的曲线根数正好是该处电场强度的大小。则称这组假想的曲线为电力线。
（4）、穿过电场中某一曲面的电力线的根数，称为穿过该曲面的电通量。
由上述概念和理论可推导出著名的高斯定理
（5）、高斯定理：在静电场中通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以。
（6）、电场内某点处试探电荷的电势能与其电量之比，称为该点的电势。
（7）、电场中任意一点的电场强度的大小等于电势在该处梯度的模，而方向相反。
（8）、电容器两极分别带等量异号的电量时，与两极之间的电势差之比：称为该电容器的电容量。
（9）、静电场中处于静电平衡状态的同一导体上各点电势相同。
2、微分方程数学模型的建立
设检测电容的两金属电极所占据空间区域分别为
，
被检木材所占据的空间区域为
。
易知互不相交，通常它们也可以互不接触。
由于静电场中处于静电平衡状态的同一导体上各点电势相同。不妨设上电势分别为，两常数。又设被测物的介电常数为，如果能计算出电极上所带电量（为，，等的函数）的值，则可以得到检测电容器的电容量与介电常数的函数关系。若得到了检测电容器的电容量与木材的介电常数的函数关系。只要能检测出电容器的电容量就可以由此关系算出被测物的介电常数，从而进一步得到木材的含水量。
下面只需讨论在上述假设条件下，如何求所带电量。
由于在静电场中导体内部电势都相等，所以其梯度都为零。从而在导体内部场强为零，再由高斯定理知，在导体内部无净电荷，所以电极所带电荷都在其表面上。由高斯定理容易得到导体表面处某点的电荷密度与该点处外电场强度成正比。并有关系式=。由于的表面为等势面，所以在上电场强度与垂直。这样如果知道电极表面的外场强的分布，和，，则所带电荷为
和
故可以把问题归结为如何求处的外电场强度分布，。又由于电场场强矢量等于电势分布函数梯度负的矢量，所以如果要能够得到电势分布函数在的外表面附近的表达式就可以得到所需场强分布，。下面来推导电势分布函数的数学模型。
在上，任取一小体积元，则由高斯定理知内所带电荷为：

其中为该部分的介电常数，当该部分为空气时，可近似认为=。
从另一方面，由于上无电荷存在，故其子区域也无电荷存在，即=0。
再由的任意性，知在内满足方程

同理可得在被测物内部的上也有

在的边界的内外两侧还要满足一定的连接条件，首先由于在边界上无电偶极层，故应在处连续，即

其中，分别表示在边界内，外两侧趋向时的极限值。
其次，在上任意一点作一个很薄层的圆柱面，如图2所示。其中在D内的底面记为，在D外的底面记为，两底面无限贴近，记圆柱侧面为。在该柱面上应用高斯定理，注意到在上无自由电荷，所以有

由于圆柱的底面无限贴近，故后两项趋于零。同时和的外法线方向分别趋于的外法线方向和其负方向，和趋于相等，所以上式取极限得到

其中，分别表示在边界内，外两侧趋向时，场强在外法线方向分量的极限值。

图2
其中n表示法线的方向的分量，从而得到

其中分别表示在边界内，外两侧趋向时，V的外法线方向导数的极限值。
最后由于有限区域内的电荷对于无穷远点的影响为零，故有

由得到的上述所有条件就可以确定电势分布函数。
综合上述结果可得到求检测电容器的电容量与被测木材的介电常数间关系函数的步骤如下
(1) 当被测木材和电极所占空间区域为，电极上电势，都已确定时，假设被测物介电常数为。
(2) 由下面偏微分方程问题

确定出电势分布函数。
(3) 求的梯度得到场强分布。
(4) 利用积分求出（或）的带电量

（或）
(5) 得到检测电容器的电容量与被测物介电常数的关系式

其中为介电常数的函数。
但应当注意到第（2）步中，由偏微分方程问题求电势分布函数通常很难得到精确解。一般情况下整个计算过程可以利用数值方法得到近似结果。只要误差在允许的范围之内，都可以在工程中得到应用。下面通过一个例子给出近似求解偏微分方程问题（2）简单的离散方法——差分方法。
3、一个数值方法离散格式的例子
为了得到符合条件的离散格式，先对被测木材的棱、角处电势分布情况进行一下分析。
先来考虑被测木材的棱处电势分布情况。如图3，做以棱为轴、以棱上M点为轴的中

图3

心的圆柱。由于圆柱内无电荷，所以由高斯定理有

其中分别为圆柱的侧面和两底面在被测木材的外部，内部的部分。由于当圆柱的各个尺寸充分小时，两底面是高阶小量。所以当圆柱的半径趋向于零时，近似的有

注意到上积分又可以表示为（由于电势函数与场强的关系）

又可近似的表示为

其中分别为电势函数法向导数在被测木材的外部，内部平均值。
再来考虑被测木材的角处电势分布情况。如图4所示，以被测木材的角M点为球心做

图4

球面，记它在被测木材外部，内部的部分分别为。由于球内无电荷，所以由高
斯定理有

由于电势函数与场强的关系又可以表示为

又可近似的表示为

其中分别为电势函数法向导数在被测木材的外部，内部平均值。
下面我们通过一个例子，用差份格式近似计算，说明本文给出的理论和算法。
设检测电容的两金属电极所占据空间区域分别为
，
被检测木材所占据的空间区域为

由于所讨论问题空间的对称性，电极上电势，应当是反号的。不妨假设加在电极上的电势，分别是1和-1，另外假设被测木材介电常数为。这时由于整个结构的对称性知，在xz电势为零。且电势关于yz平面对称，关于xz平面反对称。
此时，空间电场电位的分布函数V（x，y，z）由下面偏微分方程问题确定

下面我们建立求解上面偏微分方程问题近似解的差分格式。
由偏微分、偏导数的定义知，当步长充分小时，

另外当被测木材的边界点处处的法线方向为，且步长充分小时，
下面我们取步长，并记。若近似认为在区域外电势为零，则由上面的讨论有近似方程组

而由于对称性，我们可以只计算i,j〉0时的电势值，这时有

内部

面

棱

角

极板电荷：面： 等。
棱：等。
角：

（四分之）面：，

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