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极射赤面投影
一、《晶体结构几何理论》一书中关于极射赤面投影的论述：
1 晶体投影
晶体投影的实施分两步进行：
第一步是球面投影,是把晶体的晶面和晶线等投影到三维的参考球面上，有两种方法：
1） 迹式球面投影法
2） 极式球面投影法
第二步是极射赤面投影或心射切面投影，把三维的球面投影通过极射或心射方法转化为二维的赤面或切面的平面投影，也有两种方法：
1）极射赤面投影
2）心射切面投影
1.1 球面投影
球面投影的两种方法：
1）、迹式球面投影法:
将晶体置于投影球（参考球）的球心
晶体的平面扩展到与投影球相交而得的大圆－叫迹线
晶向直线延长与投影球相交而得的的两个点（互称对蹠点）－叫迹点或出露点。
2）极式球面投影法
晶面法线与球面相交的交点－叫极点
晶向直线的垂直面扩展到与投影球相交所得的大圆－叫极线或极圆。
几个术语：赤道平面、赤道大圆 ，本初子午面、本初子午线大圆、子午面、子午线大圆，经度、纬度、极距，球面座标，投影基圆（赤道大圆的极射赤面投影），
注意：在一般的晶体投影中常常混合使用迹式球面投影和极式球面投影。

立方晶系中三个主要晶面族的参考立方体：

晶面法线到参考球面上的投影：

球面坐标：

1.2 极射赤面投影和吴里夫网
这种投影(参看图4—5)是以赤道平面为投影平面。投影时，从S极引直线(投影线)通过上半球面上的点P1(一平面的极点或一直线的一个出露点)，投影线与赤道平面的交点Sl即Pl的极射赤面投影。
若P2为下半球面上的点则其极射赤面投影位于赤道圆圈(投影基圆)之外；这种情况对于作及-系列数量的测量均颇为不便，因此对于下牛球面上的点，是从N极引出其投影线，这样仍可在赤道圆圈内求得其极射赤面投影。通常上半球面上的点的极射赤面投影以小圆点表示，下于球面上的点以小叉表示，以资区别。

1）基本原则：投影球面上的一个圆的极射赤面投影仍是一圆，但有不同情况：
a. 投影球面的本初子午线大圆的极射赤面投影就是CD直径；投影球面上的其他子午线大圆的极射赤面投影是投影基圆的一直径，这是一种特殊情况，可视为半径等于无限长的圆。
b. 投影球面的赤道大圆的极射赤面投影即为投影基圆本身。
c. 与投影球的NS轴斜交的平面跟球面相交得的大圆（以后称倾斜大圆），其极射赤面投影为一半径颇大的圆，且一部分圆弧位于投影基圆（赤道的投影）之外，通常只取位于投影基圆内的一段圆弧来表示此倾斜大圆的极射赤面投影，此段圆弧称为大圆弧。
d. 投影球的所有纬线小圆的极射赤面投影为与投影基圆同心的许多同心圆，了称纬线小圆。
e. 与投影球的NS轴平行的平面跟球面相交得的小圆、其极射赤面投影为一圆，但其一部分位于投影基圆之外，通常只取位于投影基圆内的一段圆弧来表示此种小圆，并称此段圆弧为小圆弧。
f. 投影球面上任意一小圆的极射赤面投影为不与投影基圆同心的一圆－非同心圆。

极射赤面投影的基本原则表
No
投影球面（参考球面）
极射赤面投影
1
本初子午线大圆
CD直径
2
所有子午线大圆
对应的直径
3
赤道大圆
投影基圆本身
4
与NS轴斜交的所有倾斜大圆
大圆弧(以AB为弦)
5
与赤道平面平行的所有纬线小圆
纬线小圆(与投影基圆同心)
6
与NS轴平行的小圆
小圆弧
7
投影球面上的任意小圆
小圆（与投影基圆非同心）
2）注意问题：
① 投影球面上任意两点P1和P2之间的大圆弧段的弧度(P1 P2)，既是P1、P2两点所代表的两条直线间的交角，也是它们所代表的两个平面间的交角或补角。
② 重要问题：当投影球面上的P1、 P2转换为赤面（赤道平面）上投影点S1、S2（极点）后，如何在极射赤面投影面上从投影线段S1 S2来度量参考球面上的弧段P1 P2的弧度？这是解决将三维球面投影问题变为二维赤面投影问题的核心问题。
　　这一问题的解决是借助一种称之为“赤式网”和“吴里夫网”的两种特殊尺规，用直接度量或作图的方法来解决的。
3）赤式网的构成及用法
①　先在参考投影球面上作“经纬线坐标网”
　投影球面上的经线族、纬线族在球面上构成一网状图形，称为“经纬线坐标网”，球面上一点P的位置由它所在经线和纬线决定，它的球面坐标（ρ、φ）也可由其经度和纬度算出。

　　②　经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆的放射经族和同心圆构成的网，此网称之为“赤式网”（图4－8及附图1）。

P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径Q1Q2和小圆S’SS”定出。

4）吴里夫网的构成及用法
先在赤面投影基圆上作“经纬线坐标网”：
在投影基圆上，作出以AB为直径的大圆族(经线)，及平行于CNDS（本初子午面）的小圆族(纬线)，由此来构成一个新的经纬线坐标网，这就是“吴里夫网”。在这个吴里夫网(坐标网)中大圆族和小圆族互相划分成360度。

③应用实例：如图4-9所示，投影点S的坐标ρ和φ，不能直接从吴里夫网读出，但在垂直的直径AB上的S’点，和本初子午线直径上S”的纬线ρ与之相等，而S’、 S”的ρ可分别在CD和AB上读出。因此，将S点沿小圆S’SS”绕中心O点转到AB上的S’点或CD上的S”点，就可将S点的ρ值度量出来。φ可从旋转的角度读出。

吴里夫网与参考球的关系：

④实际应用和图的吴里夫网：省略。

1.3 极射赤面投影的基本作图题
问题1　已知投影球面上点的球面坐标，求点的极射赤面投影。
　　　　设P、Q、R的球面坐标为：
　　　　　P：ρ＝65O　　φ＝40O
Q：ρ＝50O　　　　φ＝125O
R：ρ＝150O　　　　φ＝240O
解法：

问题2　求球面上已知点的对蹠点。
参见图4-10
问题3　度量球面上已知点之间的弧度。P’、Q’两点；P’、R’两点
参见图4-10，转到大圆弧上度量。
PQ两点的弧度可以用公式计算：
cosθ＝ cosρ1·cosρ2＋sinρ1·sinρ2·cos(φ1-φ2)

问题4　已知一大圆弧，求此大圆弧的极点。
参见图4－11

问题5　已知一大圆弧的极点，求此大圆弧。
参见4－11
问题6　已知二大圆的极射赤面投影，求出二大圆所属平面间之二面角。
参见4－12
问题7　已知球面上一点的极射赤面投影，求此点为中心、半径等于no的小圆的极射赤面投影。
参见4－13

问题8　转换投影平面。

问题9　作32点群的极射赤面投影。
　　　　？

2、心射切面投影
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二、《物理冶金学基础，美国　约翰著》一书中关于极射赤面投影的论述：
1、极射赤面投影
1.1　极射赤面投影的特点
1）用各晶面的法线表示各个晶面。
2）将晶体置于参考球的中心处，同时将各晶面的法线向外引申，直至与参考球相交。
3）然后各法线在参考球的交点画到一个平面上，以便得到所要求的投影图。
极射赤面投影的重要意义：
(1)揭示并阐明晶体中各个晶面与晶向之间的关系。
(2)帮助分析X射线和电子束所产生的衍射图象。
(3)可用图解法描述点阵的对称性。
(4)确定晶体中各个晶面和各个晶向之间的夹角。
　为了介绍极射赤面投影法，将晶胞用作参考立方体很有好处，其步骤如下：
(1)将坐标系的原点置于晶胞的中心处。
（2)从坐标原点向晶体的各主要晶面作垂直线，以构成这些晶面的法线。
(3)在晶胞上用法线所代表的晶面的对称符号标明各晶面法线的交点(极点)。

图1.13表明了这种方法，各条法线的交点用它所代表的晶面及其对称符号标明。
l 采用参考立方体的优点：在于立方体具有极其简单的几何形状，而在这种简单的几何形状上采用晶面法线可以使所代表的各晶面之间的空间关系更加形象化。
l 现在把参考立方体放在参考球的中心，并由此引出各晶面的法线和球体表面相交，如图1.14所给出的该球体的八分圆所示。法线在参考球表面上的交点称为极点(pole)。 根据立方体的几何形状可以明显地看出，三个{101}极点位于与坐标轴成45。角的直线上。

l 现在的问题：是把这个参考球域到平面上。
图1．15表示把参考球的上半部画到平面上去的三种不同方法。根据投射点位置的不同，图中A、B两点将被投影到平面上的不同地点：
心射切面投影：投影点为参考球中心；
极射赤面投影：以南极为投影点；
正射投影：投影点在无穷远处。

如图1.15所示。

l 极射赤面投影中的伍氏网：

l 伍氏网与参考球的关系：

l 利用伍氏网测量极点之间的夹角：
夹角可由沿纬线或沿经线计算度数平量得。到底哪一种是正确的呢？
1）A、B点之间的夹角：
　第一种方法：（错误的方法）
A、B间的夹角可以沿纬线来测量，得α’角，这是错误的，不能代表A、B两极点之间的夹角。那么，怎样用伍氏网来测量A、B之间的夹角α呢?
　第二种方法：（正确的方法）
我们假定有一个过原点及A、B两点的平面贯穿图1.16(b)的球体，则该平面在球表面上的交线应当是个大圆(great cirele)，这是因为这个交线圆的中心也就是参考球的中心。如果我们能沿这个大圆测定角度，那么便能测出a角。图1.16(b)清楚地表明，所有的经线都是大圆，而除赤道外，所有的纬线都不是太圆。
所以，晶面之间的夹角在图1.16(b)中应为α角，它必须是自参考球心引出的晶面法线之间的夹角。
凡经过参考球心的晶面与球面相交的圆为大圆，凡不经过球心的晶面与球面相交的圆为小圆。
2）B、C点之间的夹角：
将伍氏网放在图l-16（a)的位置上，通过沿东经60o线数出刻在网上的度数，很容易量出B、C之间的夹角。由此可知该角为30o，这在图1．16(b)中相当于β角。如果B、C两点是极点，那么，β=30o的夹角就相当于这两个极点所代表的晶面之间的夹角，因为该夹角为这两个晶面的法线之交角。B、C间的夹角是沿经线来测量的。

l 因此，得出应用伍氏网的重要结论：
极点所代表的晶面之间的真实夹角应当沿大圆（经线和赤道）测量，而不能沿小圆（纬线）测量。
为了量出A、B两点之间的夹角，首先将一张描图纸迭在伍氏网上，并在这张描图纸上确定A、B两点的位置。然后，用一根大头针钉住伍氏网的原点，并转动伍氏网上的描图纸，使A、B两极点都处于伍氏网的同一经线上。其间的夹角便可以沿这条经线测得。

l 三个实例 ：
1、 制作(001)标准极射赤面投影
hkl的极射赤面投影是hkl极点落在投影面中心时的参考球的投影。通常至少给出{100}{111}{011}的极点。
首先，在伍氏网上放一张描图纸，并将(001)极点放在中心。从图1.17(a)可以看出，(100)极点位于投影图的南极，而如图1.17(b)所示，(010)极点位于赤道的东端。
其次，我们来分析一下图1-17(a)中过原点、(100)极点和(Olj)极点的平面。由图1．17(a)的几何关系可以明显看出，该平面在球面上形成一条交线，而在图1.17(b)的投影图上表现为东经450线。而且图1.7(b)还清楚地表明，(O11)极点落在这条东经线和赤道的交点上。由图1．17(a)可见，(111)极点位于东经450线上。同时，(111)极点也必然位于过(001)和(1lO)极点的大圆上。这个大圆在投影图上是一条直线，而且如图1.17(b)所示，(111)极点落在该直线与东经450线的交点上。

根据立方晶系的四次对称性，(001)投影图的其余部分很容易作出，其结果示于图1.18中。了解下列规律是很有用的：第一象限中的任何极点，其指数符号必为｛hkl｝;第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限中的任何极点，其指数符号分别为｛l｝、｛hl｝、｛hkl｝.

2．在(001)标准投影图上确定(2)极点的位置
为了解答这个问题，首先要确定(0)极点的位置，而后再确定(2)极点的位置，其原因以后自明。图1.10给出晶胞中这两个晶面的示意图。值得注意的是，这两个晶面沿[10]晶向相交，由于(0)晶面平行于[001]晶向，因此代表该晶面的极点必然落在极射赤面投影圈的外圆上。应当注意，在图1.18中所有位于外圆上的极点，其密勒指数(hkl)中的第三位l均为0。为了确定极点的位置，可以利用列举了“立方晶系中晶面间夹角表”（表1.2）。可以看出，每个{310}晶面与{100)晶面之间的夹角分别为8.40、71.60和900。由上述可知，(0)极点将落在极射赤面投影图第1I象限的投影基圆上，如图1.20(a)中的粗线所示。这条线上的任一极点都与(001)极点相距90o，因此，(0)极点必然位于这条线上，并与(O0)或(00)极点呈18.4o角。从图1.19的俯视图可以清楚地看出，(0)极点距(0O)极点比距(00)极点近。所以，通过在伍氏网的外圆刻度上从(0 O)开始数18.4o，就是(0)极点的位置。
为了确定(2)极点的位置，应当看到在图1.19上，如果令(0)晶面绕[10]晶向旋转90o，则其极点在参考球上将沿着图1.20(a)中的虚线移动，直到与(001)极点相重合为止。如果旋转角度不到90o，则该晶面将恰好与(2)晶面相重合。因此，(2)极点一定位于第1I象限内这条虚线的某处。从表1.2可以看出，每个{321}晶面与{100}晶面族分别呈86.70、57.70和74.50的夹角。因此，(2)极点必定位于虚线上与(001)极点相距36.70、
57.70或74.50的地方，如图1.20(b)中的A、B、C所示。下面我们用伍氏网来确定这三点的位置。沿经线测量这三点与(IOO)极点之间的夹角时，可以发现只有B点与(IO0)极点之间的夹角保持其中之一的74.50角。进一步的测量结果表明，B点与(00)极点呈36.70的角度，因此，B点就是(2)极点的位置。
用这种方法可以确定投影面上所有极点的位置。但是，如果在运用极射赤面投影时有一个十分“标准的(001)投影图”就要方便得多。图1.2l提供了这种投影图，注意(0)和(2)极点在这个投影图上的位置。

结论：1）晶面指数（hkl）中的第三位l为0的晶面这极点必落在投影基圆上；
　　　2）根据晶面指数（hkl）的正、负号可以判定该极点位于哪一象限；
　　　3）晶面指数（hkl）中的前两位相同，仅第三位不同，如（hk0）、（hkl）、（hk2）
　　　　　等，则这些极点必定在（hk0）极点与圆心相连的直径上。

3．确定(0)极点绕(2)极点顺时针方向旋转900后的位置　？
为了使一个极点绕另一个极点旋转，把极点之一放在(001)投影图上的(001)位置很有好处。在这个问题中，我们先把(2)极点转到(001)极点位置，然后再绕该极点旋转(0)极点。很明显，当(2)极点处于(001)位置上时，这种旋转将使(0)极点沿投影图上的一个圆移动，这个圆的中心也就是投影图的中心位置。这个问题可以按下述步骤来求解：
(1)按照上述方法确定(0)和(2)极点在投影图上的位置，然后如图1.22所示，绕投影图的中心旋转投影图，使(2)极点位于伍氏网的赤道上。，
(2) (2)极点与(001)极点相距57.70。在伍氏网赤道上使(2)极点移至(001)位置，这样便使 (0)极点在赤道上移动了57.70，于是(0)极点被置于伍氏网赤道上与(001)极点相距32.30的地方，如图1.22上步骤(2)所示。

(3)以(001)极点位置为中心，用圆规使(0)极点顺时针旋转900。由于旋转的角度恰好为900，因此，(130)极点的新位置必然位于伍氏网的南北轴上。
(4)现在将(2)极点在伍氏网赤道上倒退67.70，使之回到原来的位置。在作这一旋转时，我们来考虑一下这时在参考球上会发生什么变化。这时参考球将绕其相应的南一北轴旋转(南一北轴在参考球和投影图的位置见图1.17)，而投影点将沿伍氏网的纬线从东到西移动；就象我们在旋转地球仪时，其上各点的运动情况一样。因此，如图1.22所示，这种旋转将使(0)极点的位置沿着通过它的纬线向西迁移57.70。
(5)使投影图与伍氏网分开，(0)极点已被转到正确的位置上。
旋转极点时常见的误差发生在沿经线移动极点的时候。应当看到，当地球仪绕其南一北轴旋转时，其上各点都沿纬线运动。在旋转时把投影图想象为自某一距离观察到的球体比较便于理解。一个点的旋转是通过该球体绕其某一轴的旋转而实现的，如果该球体绕东一西轴旋转，那么球体上的各个点在投影图上如何运动呢?显然，它们不能沿着衬在下面的伍氏网的经线运动，因为这样会使球体上的所有各个点都转向北极。这时可以把伍氏网的南一北轴旋转到与投影图的东一西轴相重合。现在再绕东～西轴旋转将使投影图上的各个点沿着衬在下面的伍氏网的纬线移动。
直到现在为止，我们的注意力仍限于用极射赤面投影图来描述晶面，极射赤面投影图可以方便地用来表示晶体中的直线。
还豆丝友僵2i邕旦墨塞丞昌篷生数左回。将一条给定方向上的直线向外延伸到与参考球相交，然后将此交点投影到平面上。这样，晶体中的任一方向都可以用极射赤面投影图上的一个点来表示。
通常只使用极射赤面投影图的一小部分。该小部分一般为图1.23所示的三角形区域，称为标准三角形。这种标准三角形常用来表明晶体或晶粒的方位。假定告诉你在图1.23的标准三角形上，极点P表示一个单晶体金属丝的丝轴，那么你能想像晶体的位向吗？解决这个问题的一个简便的方法是借助参考立方体。图1.24表明该标准三角形在参考立方体上的位置，并指明了P的方向。如果把图1.24的参考立方体看作是一个具有图示位向的大单晶体，那么如图1.24所示，这个单晶体金属丝就是沿着P点与中心的连线从这块大晶体上切割下来的细圆柱体。

讨论晶面在极射赤面投影图上的迹线(trace)往往更为方便。如果任一晶面（hkl）向外延伸，它将与参考球相交成大圆，这个大圆就是该晶面的迹线，并且可以简单地把它定义为与该晶面的极点相距90 0的各个点的轨迹。图1.25表示(1)、(01)晶面的极点和迹线，显然，该迹线上的各个点都与该晶面的极点相距90 0。

凡相交于同一直线的各个晶面被认为是属于同一晶带，并被称为晶带面(planes 0f a zone)，而这条公共的直线则称之为晶带轴(zone axig)。假定要求确定(II1)和(0I1)两晶面的晶带轴方向，只要在极射赤面投影图上画出这两个晶面的迹线，如图1.25所示，其交点便可立即看出，且可求得晶带轴为[011]晶向。值得指出的是，西经460线与[011]晶向相距900。所以，在这条西经460线上的每一个极点都代表[011]晶带中的一个晶面，为此可以把该经线称为[011]晶带圆。在图1.18标准投影图上所画出的各条线常常称为主晶带圆。
极射赤面投影还有一个有时是很有用的特征，即参考球上的任一圆在极射赤面投影图上　
仍然是一个完整的圆。关于这个问题的、讨论以及关于心射切面投影和极射赤面投影更完善的论述可以参考文献3和4。

l 立方晶系中（001）的标准极射赤面投影图

l 立方晶系中晶面之间的夹角表(查找该表的解说)