期望、方差协方差.doc

随机变量的数字特征
一、数学期望E（x)的性质：
性质一：常数C，E（C)=C;
性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；
性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；
性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）
二、 方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²
性质一：C为常数，则D(C)=0；
性质二：X为随机变量，C为常数，则
D(CX)=C²D(X)
D(X±C)=D(X)
性质三：X，Y为相互独立随机变量
Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)
当X，Y不相互独立时：
D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);
关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？  
 证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得 
   COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) 
=E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}        
=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)      
=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]
  =D(X)-D(Y) 
三、 常用函数期望与方差：
⑴（0-1）分布：
①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）
②数学期望：p
③方差：pq (q=1-p)
⑵二项分布B（n,p):
①分布律： P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)
②数学期望：np
③方差：npq
⑶泊松分布π（λ）：
①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)
②数学期望：λ
③方差：λ
⑷均匀分布U（a,b):
①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时
②数学期望：（a+b）/2
③方差：（b-a)²/12
⑸指数分布E（λ）：
①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;
②数学期望：1/λ
③方差：1/λ²
⑹正态分布N（μ，ρ²）
①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),
(-∞<x<+∞,ρ>0)
②数学期望：μ
③方差：ρ²
四、 切比雪夫不等式：
随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：
P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²
成立。
等价于： P{|X-E(X)|＜ε}≥1-D(X)/ε²
推论：D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数，即
P{X=C}=1 ，C为常数。
其实，C=E(X)。
五、 协方差Cov（X,Y）
性质一：Cov(X,Y)=Cov(Y,X);
性质二：Cov（aX,bY)=abCov(X,Y);
性质三：Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1,Y）+Cov（X2,Y）；
性质四：X，Y相互独立，则Cov（X,Y）=0。
关于相关系数ρ：
若X,Y的协方差Cov（X,Y）存在，且D(X)>0,D(Y)>0,则
Ρ =Cov（X，Y）/(√D(X) *√D(Y))
性质一：|ρ|≤1；
性质二：|ρ|=1的充分必要条件，存在常数a,b使得
P{Y=aX+b}=1

①当X,Y相互独立时，Cov（X,Y）=0，若相关系数ρ存在，则，X,Y不相关；
②若X,Y不相关，则X,Y不一定相互独立。不相关是指X,Y不存在线性关系，但他们之间可以存在其他某种函数关系，比如：
Y=X²，因此，X,Y未必相互独立。