第3章 刚体力学3.3.pdf

例例1 1 1 1 半径为半径为30cm30cm30cm30cm的飞轮，从静止开始以的飞轮，从静止开始以0.5 0.5 0.5 0.5 radradradrad s s s s-2-2-2-2的的匀角加速度匀角加速度转动。转动。求求飞轮边缘上一点飞轮边缘上一点 P P P P在飞轮转过在飞轮转过240240240240 时的角速度、速度和加速度。时的角速度、速度和加速度。解：解：解：解：34180240-0=PxOy飞轮转过飞轮转过240240240240 时的角位移时的角位移由由 得得-20s0.5rad0 =，)(20202+=32)(2020=+=1srad速度的大小速度的大小为为 3603032.rv=1smt+=022100tt+=)(20202+=切向加速度和法向加速度分别为切向加速度和法向加速度分别为 rat=.ran4030342=2smnte.e.a40150+=加速度加速度为为加速度的大小加速度的大小为为()()131401502222.aaant+=+=2sm方向方向为为=283arctg.aatn为为 与与 的夹角的夹角av2/50srad.=1503050.=2sm例例3.23.23.23.2 质量为质量为m m m m，长为，长为l l l l，密度均匀的细杆，密度均匀的细杆，求：求：(1)(1)(1)(1)它它对过杆的对过杆的中心中心且与杆垂直的且与杆垂直的z z z z 轴轴的转动惯量。的转动惯量。(2)(2)(2)(2)试分试分析，当转轴由质心开始沿杆的方向平移到杆的析，当转轴由质心开始沿杆的方向平移到杆的一端一端时，转动惯量如何变化。时，转动惯量如何变化。解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)以杆的中心以杆的中心C C C C点为坐标原点，建立点为坐标原点，建立 x x x x 坐标轴坐标轴。Czxxdx2CJr dm=其中其中m/l=dxxll=222把杆分成许多无限小的质元，在把杆分成许多无限小的质元，在x x x x处取其中一质处取其中一质 元元dx=2l2l=dxx2122ml=思想：刚体由质点组成思想：刚体由质点组成质点转动惯量：质点转动惯量：2mrJ=其转动惯量为其转动惯量为dmdmr2 CzxOAzdxxJ2 =细杆的一端细杆的一端A A A A到点到点C C C C的距离为的距离为 2ld=32121222222mllmmlmdmlJA=+=+=所以所以 轴通过点轴通过点O O O O，选选O O O O为坐标原点。为坐标原点。dxdx22231212mdmlldllm+=+=+2)2-(ldld)2(dldl+2(2)(2)(2)(2)试分析，当转轴由质心开始沿杆的方向平移到杆的试分析，当转轴由质心开始沿杆的方向平移到杆的一端一端时，转动时，转动惯量如何变化。惯量如何变化。Olxdxmz20231dmlxxJl=lOxdxm22/2/2121dmlxxJll=平行轴定理平行轴定理zdCmzzJ J J J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关JcJd:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离2mdJJC+=例例3.43.43.43.4 斜面倾角为斜面倾角为,位于斜面顶端的卷扬机的鼓位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮半径为轮半径为r r r r，转动惯量为，转动惯量为J J J J，受到，受到驱动力矩驱动力矩 作作用，通过绳索牵引斜面上质量为用，通过绳索牵引斜面上质量为m m m m的物体，物体的物体，物体与斜面间的与斜面间的摩擦系数摩擦系数为为，求求重物上滑的加速度。重物上滑的加速度。(绳与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长绳与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长)MrmM 1 1 1 1）隔离物体，分析受力：质点找出所有力；隔离物体，分析受力：质点找出所有力；刚体找出相对于同一转轴有力矩的力。刚体找出相对于同一转轴有力矩的力。2 2 2 2）设定正方向（）设定正方向（转动和平动的正方向要转动和平动的正方向要致），根据运动定律写出表达式。致），根据运动定律写出表达式。xxmaF=yymaF=注：注：对于对于质点，质点，将力分解在相互垂直的方向上，求每个将力分解在相互垂直的方向上，求每个垂直方向上的合力，根据牛顿第二定律列出表达式。垂直方向上的合力，根据牛顿第二定律列出表达式。对于对于刚体，刚体，求相对于同一转轴的合力矩。求相对于同一转轴的合力矩。解题：解题：JM=解：解：解：解：选运动方向为正方向。选运动方向为正方向。根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有 mamgfT=siny y y y方向方向0cos=mgNNf=对物体：对物体：受力分析受力分析rmMPxyNTx x x x方向方向（正方向）（正方向）对鼓轮：对鼓轮：正方向垂直于纸面指向读者正方向垂直于纸面指向读者 JrTM=根据转动定律根据转动定律TT=ra=其中其中rTMf()2sincosmrJmgrmgrMa+=例例3.53.53.53.5一根细绳跨过固定在电梯顶部的定滑轮，一根细绳跨过固定在电梯顶部的定滑轮，滑滑轮的质量轮的质量为为m m m m ，半径为，半径为R R R R。在绳的两侧各悬挂有质。在绳的两侧各悬挂有质量为量为MMMM和和m m m m的小球的小球(MMMM m m m m)，设设细绳的质量忽略不细绳的质量忽略不计计，且细绳不可伸长。，且细绳不可伸长。求求：当电梯静止时，两球：当电梯静止时，两球的加速度和细绳的张力。的加速度和细绳的张力。解：解：解：解：MmmPmTmmaMPMTMMaMTmT？受力分析受力分析mTMTRMMTT=mmTT=mTMTRMMTT=mmTT=根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有MMMaTMg=mmmamgT=-根据刚体定轴转动定律，有根据刚体定轴转动定律，有 JRTRTmM=RaamM=且有且有mPmTmmaMPMTMMa滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为 221RmJ=+选运动方向为正方向。选运动方向为正方向。+将上面方程联将上面方程联立，可解得立，可解得()mmMgmMaamM+=21mmMgmmMTM+=21212mmMgmMmTm+=21212若将若将mmmm 略去，即可略去，即可得到第二章例题得到第二章例题1 1 1 1中的结果。中的结果。MMTT=(4)mmTT=(1)MMMgTMa=(2)mmmgTma=(3)MmTRT RJ=(5)MmaaR=FOr(1)(1)(1)(1)飞轮的角加速度；飞轮的角加速度；(2)(2)(2)(2)如以重量如以重量P P P P=98 N=98 N=98 N=98 N的物体挂在绳的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速。端，试计算飞轮的角加速。解解 (1)(1)(1)(1)FrJ=98 0.239.20.52 2 2 2 rad/s rad/s rad/s rad/sFrJ=maTmg=(2)(2)(2)(2)JrT=ra=两者区别两者区别mgT练习练习求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r r r r=20 cm=20 cm=20 cm=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F F F F=98 N=98 N=98 N=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J J J J=0.5 kg=0.5 kg=0.5 kg=0.5 kg mmmm2 2 2 2，飞，飞轮与转轴间的摩擦不计，轮与转轴间的摩擦不计，2mgrJmr=+22rad/s 8212010502098.=+=TTT=+sinsinmvrrpL=例例1 1 1 1 一质点相对点一质点相对点O O O O的角动量；的角动量；Or=LrmvrP=90sinvm方向：方向：指向读者。指向读者。Orvmd=LsinsinrmvrP=方向：方向：指向读者。指向读者。mvd=L结论：结论：(1)(1)(1)(1)质点对运动平面内质点对运动平面内某参考点某参考点O O O O 的角动量也称的角动量也称为质点对过为质点对过O O O O 垂直于运动平面的轴垂直于运动平面的轴的角动量的角动量；(2)(2)(2)(2)质点的角动量与质点的质点的角动量与质点的动量及动量及位矢位矢(取决于固定点取决于固定点的选择的选择)有关；有关；vmrprL=例例3.63.63.63.6 在地球绕太阳公转的过程中，当地球处于远在地球绕太阳公转的过程中，当地球处于远日点时，地日之间的距离为日点时，地日之间的距离为1.521.521.521.521010101011111111m，轨道速，轨道速度为度为2.932.932.932.93101010104 4 4 4 mmmm s s s s-1-1-1-1。半年后，地球到达近日点，。半年后，地球到达近日点，地日之间的距离为地日之间的距离为1.471.471.471.471010101011111111m。求地球在近日点求地球在近日点时的轨道速度和角速度。时的轨道速度和角速度。解：解：解：解：以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守恒定律恒定律恒定律恒定律。2v1v2r1rm远日点远日点 111mvrL=222mvrL=近日点近日点？2mrL=由由 得得2211mvrmvr=411411211210033104711093210521=.rvrv1sm72211210062=.rvr1srad2v1v2r1rm？常量常量=2mrL变化变化常量常量=L=11mvr222mrm m m m vPh解：解：解：解：将子弹视为质点将子弹视为质点 ，由子弹和细杆组，由子弹和细杆组成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。O例例3.73.73.73.7 一长一长l l l l，质量为，质量为MMMM的细杆，可绕水平轴的细杆，可绕水平轴O O O O在竖在竖直平面内转动，开始时杆自然地竖直悬垂。现有直平面内转动，开始时杆自然地竖直悬垂。现有一质量为一质量为m m m m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入杆中射入杆中P P P P点，已点，已知知P P P P点和杆下端的距离点和杆下端的距离为为h h h h，求细杆开始运动时的求细杆开始运动时的角速度。角速度。P71P71P71P71 v碰前：碰前：细杆对轴细杆对轴O O O O的角动量的角动量 01=L子弹对轴子弹对轴O O O O的角动量的角动量()hlmvrmvL=2JL=1碰后：碰后：细杆对轴细杆对轴O O O O的角动量的角动量()mhlL22=子弹对轴子弹对轴O O O O的角动量的角动量由角动量守恒定律，有由角动量守恒定律，有 2121LLLL+=+()()hlmMlhlmv+=2231()()2231hlmMlhlmv+=解得解得细杆的转动惯量：细杆的转动惯量：231MlJ=此题可否用此题可否用动量守恒动量守恒处处理？理？m m m m vPhO 物体在沿水平面转动中，绳物体在沿水平面转动中，绳的拉力对转轴的的拉力对转轴的力矩为零力矩为零，所，所以，物体在转动过程中以，物体在转动过程中角动量角动量守恒守恒。设物体在运动半径变为。设物体在运动半径变为R R R R/5/5/5/5时的角速度为时的角速度为 ，则有，则有 例例3.83.83.83.8一质量为一质量为m m m m的小球由细绳系着，以角速度的小球由细绳系着，以角速度 在光滑的水平面上作圆周运动，圆周的半径为在光滑的水平面上作圆周运动，圆周的半径为R R R R。若在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球若在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作圆周运动的半径变为作圆周运动的半径变为R R R R/5/5/5/5，求求小球在半径变为小球在半径变为R R R R/5/5/5/5时的角速度及在此过程中拉力对小球所做的功时的角速度及在此过程中拉力对小球所做的功。0RF分析：分析：球的角速度球的角速度如何变化？如何变化？解：解：解：解：JJ=0020mRJ=()25RmJ=2022002122121mRJJEk=刚体绕定轴转动的动能增量为刚体绕定轴转动的动能增量为 00025JJ=拉力的功为拉力的功为 20212mRW=RF分析：分析：小球小球动能增量动能增量为拉力做功的结果，应等于拉力的功为拉力做功的结果，应等于拉力的功直接求拉力的功？直接求拉力的功？同学们课后可尝试一下同学们课后可尝试一下。这里我们通过求动能增量来计算功这里我们通过求动能增量来计算功请同学们分析一下小球动能是否变化？请同学们分析一下小球动能是否变化？增加的能量从哪里来？增加的能量从哪里来？021过程中过程中阻力矩所做的功为多少？阻力矩所做的功为多少？kM=k0练习练习 一转动惯量为一转动惯量为 (为正常数为正常数)。则在它的角速度从则在它的角速度从变为变为J0的圆盘绕一固定轴转动，起初的圆盘绕一固定轴转动，起初角角,设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系速度为速度为021=解：解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做的功为的功为将将代入上式，得代入上式，得W2083JW=2022121JJ=例例一根长为一根长为 l l l l ，质量为，质量为 m m m m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O O O O 在在竖直平面内转动，初始时它在水平位置静止。竖直平面内转动，初始时它在水平位置静止。求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 .OlmC解：解：mg根据机械能守恒根据机械能守恒lgsin3=pkEE=0-212Jhmg=231mlJ=hsin2lmg=解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：3 3 3 32 2 2 24 4 4 43 3 3 34 4 4 43 3 3 3)(ct ct ct ctbt bt bt bta a a act ct ct ctbt bt bt btat at at atdt dt dt dtd d d d +=+=332(34)612dabtctbtctdt=+=飞轮作变加速转动飞轮作变加速转动例题例题：一飞轮在时间一飞轮在时间 t t t t 内转过度内转过度 ，式中式中 a a a a、b b b b、c c c c 都是常量，求它的角加速度。都是常量，求它的角加速度。4 4 4 43 3 3 3ct ct ct ctbt bt bt btat at at at +=5-35-35-35-3一作匀变速转动的飞轮在一作匀变速转动的飞轮在10s10s10s10s内转了内转了16161616圈，其末角圈，其末角速度为速度为 ，它的角加速度的大小等于多少？，它的角加速度的大小等于多少？115sradradstsrad32,10,151=解：根据运动学公式解：根据运动学公式 t 0+=2021tt+=2/)(2tt=299.0=srad221)(tt+=r()rRv3-123-123-123-12一质量为一质量为m m m m的人站在一质量为的人站在一质量为m m m m、半径为、半径为R R R R的水平的水平圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率为为 时，时，圆盘转动的角速度为多大圆盘转动的角速度为多大？0=+盘盘人人JJrv=人vRr22=盘解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。221mRJ=盘圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为 选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有其中其中 ，代入上式得，代入上式得负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。2mrJ=人人的转动惯量为人的转动惯量为 5-5 5-5 5-5 5-5 均匀细棒均匀细棒OAOAOAOA可绕通过其一端可绕通过其一端O O O O而与棒垂直的水平固定光滑而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下摆，在棒摆动到轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下摆，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述情况哪一种说法是正确的？竖直位置的过程中，下述情况哪一种说法是正确的？A A A A角速度从小到大，角加速度从大到小；角速度从小到大，角加速度从大到小；B B B B角速度从小到大，角加速度从小到大；角速度从小到大，角加速度从小到大；C C C C角速度从大到小，角加速度从大到小；角速度从大到小，角加速度从大到小；D D D D角速度从大到小，角加速度从小到大角速度从大到小，角加速度从小到大。A A A A 5-65-65-65-6关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A A A A）只取决于刚体的质量）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关与质量的空间分布和轴的位置无关 （B B B B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关 （C C C C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 （D D D D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。C C C C 5-75-75-75-7如把转轴由细杆质心处平行地移动如把转轴由细杆质心处平行地移动L L L L（L L L L为杆长），则细杆的为杆长），则细杆的转动惯量由转动惯量由J J J J变为变为 A.A.A.A.B.B.B.B.C.C.C.C.D D D D.045J023J047J02J C C C C JM=5-105-105-105-10一长为一长为1 m1 m1 m1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成60606060 ，然后无初转速地，然后无初转速地将棒释放已知棒对轴的转动惯量为将棒释放已知棒对轴的转动惯量为 ，其中，其中mmmm和和l l l l分别为分别为棒的质量和长度求：棒的质量和长度求：(1)(1)(1)(1)放手时棒的角加速度；放手时棒的角加速度；(2)(2)(2)(2)棒转到水平位置时的角加速度棒转到水平位置时的角加速度231ml l O60 m解：（解：（1 1 1 1）设棒的质量为设棒的质量为m m m m，当棒与水平面成，当棒与水平面成60606060 角并开角并开始下落时，根据转动定律始下落时，根据转动定律 其中其中 4/30sin21mglmglM=2rad/s 35.743=lgJM于是于是,41.0A,41.0B.4.0D,4.0C0041J5-145-14花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动。开始时两臂伸开，花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动。开始时两臂伸开，转动惯量为转动惯量为J J0 0，角速度为，角速度为 ，然后她将两臂收回，使转动惯量然后她将两臂收回，使转动惯量减少为减少为 ，这时她转动的这时她转动的角速度角速度变为变为 C C C C 5-155-155-155-15如图所示，一静止的均匀细棒，长为如图所示，一静止的均匀细棒，长为L L L L、质量为、质量为MMMM，可绕通过，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O O O O在水平面内转动，转动惯在水平面内转动，转动惯量为一质量为量为一质量为m m m m、速率为、速率为v v v v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度角速度应为应为 O 俯视图 MLmvMLm23vMLm35vMLm47v (B)(B)(B)(B)(C)(C)(C)(C)(D)(D)(D)(D)(A)(A)(A)(A)B B B B 5-175-175-175-17有一半径为有一半径为R R R R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为滑轴转动，转动惯量为J J J J，开始时转台以匀角速度，开始时转台以匀角速度 转动，此时转动，此时有一质量为有一质量为m m m m的人站在转台中心随后人沿半径向外跑去，当人的人站在转台中心随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，到达转台边缘时，转台的角速度转台的角速度为为 0(A)(A)(A)(A)(B)(B)(B)(B)(C)(C)(C)(C)(D)(D)(D)(D)02mRJJ+()02RmJJ+02mRJ0 A A A A 5-185-185-185-18质量为质量为mmmm、长为、长为l l l l的棒，可绕通过棒中心的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴且与棒垂直的竖直光滑固定轴O O O O在水平面内在水平面内自由转动自由转动(转动惯量转动惯量 )开始时棒静开始时棒静止，现有一子弹，质量也是止，现有一子弹，质量也是mmmm，在水平面内，在水平面内以速度以速度 垂直射入棒端并嵌在其中则子弹垂直射入棒端并嵌在其中则子弹嵌入后棒的嵌入后棒的角速度角速度 122ml0vlv230=m O m l 俯视图 5-205-205-205-20如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴固定轴O O O O旋转，初始状态为静止悬挂现有一个小球自左方水平旋转，初始状态为静止悬挂现有一个小球自左方水平打击细杆设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中打击细杆设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统对细杆与小球这一系统(A)(A)(A)(A)只有机械能守恒只有机械能守恒(B)(B)(B)(B)只有动量守恒只有动量守恒(C)(C)(C)(C)只有对转轴只有对转轴O O O O的角动量守恒的角动量守恒 (D)(D)(D)(D)机械能、动量和角动量均守恒。机械能、动量和角动量均守恒。C C C C O 例例 如图，一长为如图，一长为 l,l,l,l,质量为质量为MMMM的的杆可绕支点杆可绕支点O O O O转动，一质量为转动，一质量为m m m m，速率为，速率为 v v v v0 0 0 0 的子弹，射入距的子弹，射入距支点为支点为a a a a的杆内，若杆的偏转角的杆内，若杆的偏转角 =30=30=30=300 0 0 0，求，求子弹的初速率子弹的初速率 v v v v0 0 0 0。解：解：此题分两个阶段，此题分两个阶段，第一阶段第一阶段，子弹，子弹射入杆中，摆获得角速度射入杆中，摆获得角速度 ，尚未摆，尚未摆动，子弹和摆组成的系统所受外力对动，子弹和摆组成的系统所受外力对O O O O点的力矩为零，点的力矩为零，系统角动量守恒系统角动量守恒：)1 1 1 1()3 3 3 31 1 1 1(0 0 0 0)(2 2 2 22 2 2 20 0 0 0 mamamamaMlMlMlMlmvmvmvmva a a a+=+第二阶段第二阶段，子弹在杆中，与摆一起，子弹在杆中，与摆一起摆动，以子弹、杆和地摆动，以子弹、杆和地地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是系统系统机械能守恒机械能守恒：由（由（2 2 2 2）（）（3 3 3 3）（）（4 4 4 4）式求得：）式求得：)2 2 2 2()3 3 3 31 1 1 1(2 2 2 21 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 22 2 2 22 2 2 2mghmghmghmghMghMghMghMghmamamamaMlMlMlMl+=+代入（代入（1 1 1 1）式，得）式，得：其中：其中：)3 3 3 3()coscoscoscos1 1 1 1(2 2 2 21 1 1 1 =l l l lh h h h)4 4 4 4()coscoscoscos1 1 1 1(2 2 2 2 =a a a ah h h h2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 23 3 3 3/)coscoscoscos1 1 1 1()2 2 2 2(3 3 3 3/)coscoscoscos1 1 1 1(2 2 2 22 2 2 2/)coscoscoscos1 1 1 1(2 2 2 2mamamamaMlMlMlMlg g g gmamamamaMlMlMlMlmamamamaMlMlMlMlmgamgamgamgaMglMglMglMgl+=+=g g g gmamamamaMlMlMlMlmamamamaMlMlMlMlmamamamav v v v)coscoscoscos1 1 1 1)()()()(2 2 2 2)()()()(3 3 3 3/(1 1 1 12 2 2 22 2 2 20 0 0 0 +=此题可否用动量守恒处此题可否用动量守恒处理？理？例例5 5 5 5 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 .由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O O O O 转动转动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度 .lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmgl=sin21式中式中231mlJ=dddddddd=tt得得sin23lg=由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg=代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1(3=lgJmgl=sin21(3)(3)(3)(3)物体物体B B B B与滑轮之间的绳中的张力。与滑轮之间的绳中的张力。(1)(1)(1)(1)滑轮的角加速度。滑轮的角加速度。(2)(2)(2)(2)物体物体A A A A与滑轮之间的绳中的张力。与滑轮之间的绳中的张力。AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1N N N N1BP P P PA A A AT T T T1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NT T T T 1T T T T 2P P P PT T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1N N N N1BP P P PA A A AT T T T1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NT T T T 1T T T T 2P P P PT T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1N N N N1BP P P PA A A AT T T T1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NT T T T 1T T T T 2P P P PT T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1N N N N1BP P P PA A A AT T T T1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NT T T T 1T T T T 2P P P PT T T T 1T T T T 2P P P PN N N N3-63-63-63-6如图所示，质量均为如图所示，质量均为m m m m的物体的物体A A A A和和B B B B叠放在水平面叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。设定滑轮的质量为设定滑轮的质量为m m m m，半径为，半径为R R R R，且，且A A A A与与B B B B之间、之间、A A A A与桌与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动。物体对滑动。物体A A A A在力在力 的作用下运动后，求：的作用下运动后，求：FJRTRT=12221mRJ=maTF=211TT=22TT=Ra=mRFRJmRF522=+=/FTT5322=FTT5211=解：解：设滑轮转动方向为正方向，由刚体定轴转动定律有设滑轮转动方向为正方向，由刚体定轴转动定律有由牛顿第二定对由牛顿第二定对物体物体A A A A：有有其中，其中，因绳与滑轮之间无相对滑动，则因绳与滑轮之间无相对滑动，则 有有将将4 4 4 4个方程联立，可得个方程联立，可得滑轮的角加速度滑轮的角加速度 物体物体A A A A与滑轮之间的绳中的张力与滑轮之间的绳中的张力物体物体B B B B与滑轮之间的绳中的张力与滑轮之间的绳中的张力 AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1N N N N1BP P P PA A A AT T T T1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NT T T T 1T T T T 2P P P PT T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1N N N N1BP P P PA A A AT T T T1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NT T T T 1T T T T 2P P P PT T T T 1T T T T 2P P P PN N N N对物体对物体B B B B：1Tma=AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NAF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2AF F F FP P P PA A A AN N N N 1N N N N2T T T T2N N N N1BP P P PA A A AT T T T1N N N N1BP P P PA A A AT T T T1BP P P PA A A AT T T T1T T T T 1T T T T 2P P P PN N N NT T T T 1T T T T 2P P P PT T T T 1T T T T 2P P P PN N N N1T2T和和间的摩擦力，且绳子相对滑轮没有滑动间的摩擦力，且绳子相对滑轮没有滑动)R根质量不计的轻绳相连，此绳跨过一半径为根质量不计的轻绳相连，此绳跨过一半径为、质量为、质量为1m2mAB3-7 3-7 3-7 3-7 如图所示，质量分别为如图所示，质量分别为和和的物体的物体和和用一用一mA若物体若物体与水平面间是与水平面间是光滑接触，光滑接触，求：求：的定滑轮。的定滑轮。绳中的张力绳中的张力各为多少？各为多少？(忽略滑轮转动时与轴承忽略滑轮转动时与轴承BABABA1(1)1 1 1 1Tm a=22222(2)PTm gTm a=解：根据牛顿第二定律，有解：根据牛顿第二定律，有21(3)RTRTJ=11TT=22TT=由刚体的定轴转动定律有由刚体的定轴转动定律有因绳子质量不计，所以有因绳子质量不计，所以有,(4)aR=1(5)22 2 2 2JmR=mmmgmmT2121211+=mmmgmmmT212121212+=将上面将上面5 5 5 5个个方程联立方程联立1(1)1 1 1 1Tm a=22222(2)PTm gTm a=21(3)RTRTJ=11TT=22TT=(4)aR=1(5)22 2 2 2JmR=得得转动惯量变为转动惯量变为J J J J/3/3/3/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动 能与收臂前的动能之比。能与收臂前的动能之比。J3-113-113-113-11一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转动惯量为动惯量为，角