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第十二章 线性回归分析

练习题
一、最佳选择题
1．表示( )。
Ａ．Ｙ的离散程度 B．对的离散程度 C．Y和X的离散程度
D．Y对的离散程度 Ｅ．X的离散程度
2. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点距直线的（ ）。
A． 纵向距离之和最小 B．纵向距离的平方和最小 C．垂直距离之和最小
D．垂直距离的平方和最小确 E．纵向距离的平方和最大
3． Y＝14＋4X 是1－7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重
换成国际单位kg，则此方程（ ）。
A． 截距改变 B． 回归系数改变 C． 两者都改变 D．两者都不改变　
E．相关系数改变
4．直线回归系数假设检验，其自由度为（ ）。
A. n B. n-1 C. n-2 D. 2n-1 Ｅ. 2(n-1)
5. 当r＝0时，＝a＋bX 回归方程中（ ）。
A．a必大于零 B．a必等于 C．a必等于零
D．a必等于 E．a必等于b
6．在多元线性回归分析中,应变量总离均差平方和可以分解为回归平方和与残差平方和
两部分，试回答残差系指 ( )。
A．观察值与估计值之差
B．观察值与平均值之差
C．估计值与平均值的平方和之差
D．观察值与平均值之差的平方和
E．观察值与估计值之差的平方和

二 、问答题
1．用什么方法考察回归直线是否正确？
2．简述回归系数方差分析Y的平方和自由度的分解。
3．简述回归分析中Y的标准差与剩余标准差的区别和联系。
4． 简述与的区别。
5．举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？
6．直线回归分析时怎样确定自变量和因变量？
7．简述曲线回归常用的几种曲线形式。
三、计算题
1．一个产科医师发现孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有关，并且两者之间成正相关。现收集了31例待产妇24小时的尿，测量其中的雌三醇含量，同时记录产儿的体重。结果如下表，求直线回归方程并对回归系数作假设检验。
待产妇尿中雌三醇含量与新生儿体重关系
编号 尿雌三醇 新生儿体重 编号 尿雌三醇 新生儿体重
（mg/24h） （kg ） （mg/24h） （kg）
（1） (2) (3) （4） (2) (3)
1 7 2.5 17 17 3.2
2 9 2.5 18 25 3.2
3 9 2.5 19 27 3.4
4 12 2.7 20 15 3.4
5 14 2.7 21 15 3.4
6 16 2.7 22 15 3.5
7 16 2.4 23 16 3.5
8 14 3.0 24 19 3.4
9 16 3.0 25 18 3.5
10 16 3.1 26 17 3.6
11 17 3.0 27 18 3.7
12 19 3.1 28 20 3.8
13 21 3.0 29 22 4.0
14 24 2.8 30 25 3.9
15 15 3.2 31 24 4.3
16 16 3.2

2．为探讨某地饮水中氟含量与氟骨症的关系，试对测量得到的下列8对数据进行直线相
关分析 。
氟含量（mg/L）X： 0.47 0.64 1.00 1.47 1.60 2.86 3.21 4.71
患 病 率（％）Y： 22.37 23.31 25.32 22.29 28.57 35.00 46.07 46.08
（1）按此资料绘制散点图？
（2）求直线回归方程并对回归系数作假设检验。
（3）试估计氟含量为2.00 mg/L时，患病率平均增加多少，计算其95％的可信区间，并
说明其含义。
（4）求氟含量为2.00 mg/L时，患病率Y值的95％的容许范围，并解释其含义。

练习题参考答案
一、最佳选择题：
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A
二 、问答题
1．答：用以下三种方法判定：
（1）直线必须通过点（，）。
（2）若纵坐标、横坐标无折断号，将此线左端延长与纵轴相交，焦点的纵坐标必等于截距。
（3）直线是否在自变量X的实测范围内。
2．答：即，为反应变量的离均差平方和，表示在未考虑与的回归关系时的变异，可分解为两部分的变异，一部分为回归平方和，另一部分为剩余平方和，分别用和表示。这三个平方和，各有其相应的自由度，其关系为：，
，，。
3．答：表示在总体中，当为某一定值时，个体值的波动范围。而剩余标准差是指当对的影响被扣除后，方面仍有变异。这部分变异与无关，纯属抽样变异。当与接近且充分大时，可用代替。
4．答：是对应的总体均数的一个样本估计值，是反映其抽样误差大小的标准误，其计算公式为；是反映个体值的容许区间大小的，也就是说当总体中为某定值时，值由于随机误差影响在上下波动的范围的大小就取决于标准差，其计算公式为。
5．答：步骤如下：
（1）根于研究目的确定预报因子（）和预报量（），由估计值，收集资料。
（2）建立预报方程，并进行回归系数假设检验。若P小于检验水准，则回归方程成立。
（3）根据回归方程在实测范围内对进行预测，并计算为某定值时，个体值波动范围（容许区间）。例如：1－7岁儿童，为年龄，为体重，可根据年龄预测（估计）体重。
统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要求因变量值在一定范围内波动，可以通过控制自变量的取值来实现。步骤同前。例如：针刺哑门穴，进针深度与颈围间存在直线关系，可根据取值达到控制的目的。
6．答：
（1）Ⅰ型回归中，为精密测定和严格控制的变量，为正态变量。表示原因的为，表示结果的为。
（2）Ⅱ型回归中，、均为服从正态分布的随机变量，互为因果，可计算两个回归方程。何者为，何者为，根据研究目的确定。如身高、体重两变量，若目的只是由身高估计体重，则确定为身高，为体重。
7．答：曲线回归常用的几种曲线形式有：
（1）指数函数（），当＞时，随上升而上升；当＜时，随上升而下降。
（2）幂函数（），当＞时，随上升而上升；当＜时，随上升而下降。
（3）对数函数（），当＞时，随上升而上升，先快后慢；当＜时，随上升而下降，先快后慢。
（4）logistic函数（），当＞时，随上升而下降；当＜时，随上升而上升。

三、计算题
1．解：
（1）计算获得：
，，，，，
，

代入公式：

（2）回归系数假设检验：
，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有直线关系
，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重无直线关系

由上面的计算结果：
，，

，
所以，
自由度，查t值表，，，按检验水准，拒绝，认为待产妇24小时尿中雌三醇含量与产儿体重之间存在线性回归关系。

2．解：
(1) 散点图如下

(2) 由原始数据及散点图初步分析，估计本资料有直线趋势，故作下列计算
，，
，，，

回归系数假设检验：
，即氟含量与患病率之间无线性关系
，即氟含量与患病率之间有线性关系

①方差分析（见表）：
方差分析表
变异来源
SS
df
MS
F
P
回归
625.983
1
625.983
40.805
＜0.01
剩余
92.045
6
15.341

总变异
718.028
7

计算得，查界值表，得P＜0.01，按水准，拒绝，接受，可认为氟含量与患病率间有直线关系。
② t检验：
，即氟含量与患病率之间无线性关系
，即氟含量与患病率之间有线性关系

按，查t界值表，得，按水准，拒绝，接受，结论同上。本题，故可用直线回归方程来描述患病率与增加氟含量的关系。
异常点即对应于（）绝对值特大的观测数据见表
残差的计算
序号 X Y
1 0.47 22.37 21.31 1.06
2 0.64 23.31 22.40 0.91
3 1.00 25.32 24.71 0.61
4 1.47 22.29 27.72 －5.44
5 1.60 28.57 28.56 0.01
6 2.86 35.00 36.65 －1.65
7 3.21 46.07 38.90 7.17
8 4.71 46.08 48.53 －2.45
由散点图及残差分析，第一点（X＝1.47，Y＝22.29）为可疑的异常点。
根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95％可信区间。
总体回归系数的95％可信区间

按回归系数的95％可信区间下限和上限分别代入，得。回归系数的95％可信区间上、下限对应的两条直线，回归方程为：

（3）估计氟含量为2.00mg/L时，患病率平均增加多少，计算其95％的可信区间，并说明含义。

当X＝2.00mg/L时，的95％可信区间：
(，)＝(31.13－2.447×1.39，31.13＋2.447×1.39)＝（27.73，34.53）
即总体中，氟含量为2.00mg/L时，患病率平均增加31.13mg/L，其95％的可信区间为（27.73，34.53mg/L）。
其含义为：当氟含量为2.00mg/L时，相应的平均增重服从一个正态分布（此正态分布的样本均数估计值为31.13mg/L），如果从此正态分布中重复抽样100次，这100个可信区间中理论上将有95个区间包含真正的总体均数（虽然这个总体均数真值是未知的）。
（4）求氟含量2.00mg/L时，患病率Y值的95％可信区间，并解释其含义。
当x＝2.00mg/L时，，个体Y值的95％可信区间：
(，)＝(31.13－2.447×4.16，31.13＋2.447×4.16)＝（21.95，41.31）
即估计，总体中，氟含量为2.00mg/L时，由95％的患病率增加体重在20.95，41.31mg/L范围内。