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惠州市中学数学青年教师改编题比赛

如图，AB是圆O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点。试判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由。
V
B
A
C
E
D
O
·
解答：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB时二面角A-VC-B的平面角。由∠ACB是直径上的圆周角，知∠ACB = 90°。因此，平面VAC⊥平面VBC。由DE是△VAC两边中点连线，知DE∥VC。由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直。
本题选自必修②（人教版） P74 习题2.3 B4。
考查目标：本题主要考查线面关系以及空间想象能力和推理论证能力。

改编：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A、B的动点。线段VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点。
（1）证明：DE⊥平面VBC；
（2）设AB=2，VC=2，求三棱锥V-ABC的体积的最大值；
（3）在（2）中，当三棱锥V-ABC的体积最大时，求异面直线VB与CD所成的角的余弦值。
V
B
A
C
E
D
O
·
考查目标：本题综合考查线面关系、棱锥体积与异面直线所成角的求法（余弦定理或空间向量法）等有关知识，并考查数形结合的数学思想和方法以及空间想象能力、思维能力和运算能力。
解答：（1）证明：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC。由∠ACB是直径所对的圆周角，知∠ACB=90°，即BC⊥AC。因为VC∩BC=C，所以AC⊥平面VBC。由DE是△VAC两边中点连线，知DE∥VC，所以DE⊥平面VBC。 ………………4分
（2）在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2≥2AC·BC，即AC·BC≤，当且仅当AC=BC=取等号。所以Rt△ABC面积的最大值为。 …………7分
又VC⊥平面ABC，即VC是三棱锥V-ABC的高，从而三棱锥V-ABC的体积的最大值为。 …………9分
（3）方法一：连接CO、DO。
∵点D、O分别是VA、AB的中点，
∴OD是△VAB的中位线，
∴OD∥VB，OD=VB==，
∴∠CDO即为异面直线VB与CD的夹角。 …………11分
在Rt△VAC中，CD=VA=。
又CO=AB=，
∴cos∠CDO=. …………13分
故异面直线VB与CD所成的角的余弦值为。 ………………14分
V
B
A
C
E
D
O
·
x
y
z
方法二：如图建立空间直角坐标系C-xyz。由（2）可知C(0,0,0)，A(,0,0)，B(0，,0)，V(0,0,2)，D(,0,1)。 …………10分
∴，
∴,
∴. ……13分
所以异面直线VB与CD所成的角的余弦值为。 …………14分
本改编题的特点：本改编题把原题的问题改成证明题，既考查了相关的知识点，又降低了难度，并在此基础上增加了两个设问。第二问考查用重要不等式求体积的最大值，代数与几何知识有机结合，训练学生灵活运用所学知识解决问题的能力。第三问考查了异面直线所成角的求法，解法不唯一，既可用余弦定理求解，也可用空间向量来求解。本题难度适中，可以有效考察学生对所学知识的掌握情况，文理科学生都适用。

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