阶段滚动检测(三).doc

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阶段滚动检测(三)
第一～六章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(滚动交汇考查)已知集合M={x|x2-3x-4>0},N={x|4-x2≥0},则M∩N=(　　)
A.[2,4]　　　　　　　　 B.[-2,2]
C.[-2,-1) D.(4,+∞)
2.(滚动单独考查)若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi等于(　　)
A.-2+i　　 B.2+i　　 C.1-2i　 　D.1+2i
3.(2014·泉州模拟)已知数列{an}满足a1=2,a2=1,=+,则a10=(　　)
A. B. C. D.
4.(滚动交汇考查)函数y=x2-x+2在[a,+∞)上单调递增是函数y=ax为单调递增函数的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.(2014·临沂模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是
(　　)
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
6.(滚动单独考查)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(　　)
A. B. C.5 D.25
7.(2013·广州模拟)已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为(　　)
A.6 B.3 C.2 D.4
8.(2013·厦门模拟)如图是今年元宵花灯展中一款五角灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是(　　)

9.(滚动单独考查)设sinα=,tan(π-β)=,则tan(α-
2β)=(　　)
A.- B.- C. D.
10.(2014·厦门模拟)若实数x,y满足且z=2x+y的最小值为3,则实数b的值为(　　)
A. B. C. D.2
11.(滚动交汇考查)已知a=(sinx,-cosx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b+.若0≤x≤,则函数f(x)的值域为(　　)
A. B.
C. D.
12.已知各项为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为(　　)
A.4 B. C.9 D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2014·青岛模拟)不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是　____________.
14.(滚动交汇考查)已知命题p:a-4<x<a+4,命题q:(x-2)(3-x)>0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　　.
15.(2014·泉州模拟)已知区域D是由不等式组所确定的,则圆x2+y2=4在区域D内的面积等于　　　　.
16.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么你类比得到的结论是　　　　.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(滚动单独考查)(2014·长沙模拟)已知函数f(x)=2sinωx·
cos+(ω>0)的最小正周期为4π.
(1)求正实数ω的值.
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosA=acosC+ccosA,求f(A)的值.
18.(12分)(滚动单独考查)(2013·聊城模拟)已知函数f(x)=-(a>0且a≠1),
(1)证明:函数y=f(x)的图象关于点对称.
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
19.(12分)(2014·济南模拟)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一个如图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域).
(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少?

20.(12分)(2014·威海模拟)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n
∈N*).
(1)证明:数列为等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
21.(12分)(滚动交汇考查)(2014·郑州模拟)已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.
(1)用xn表示xn+1.
(2)若x1=4,记an=lg,证明数列{an}成等比数列,并求数列{an}的通项公式.
22.(12分)(滚动单独考查)(2014·临沂模拟)已知平面向量a=(,-1),b=.
(1)证明:a⊥b.
(2)若存在实数k,t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求k,t的函数关系式k=f(t).
(3)根据(2)的结论,讨论关于t的方程f(t)-m=0的解的情况.
答案解析
1.C　由已知得M={x|x<-1或x>4},N={x|-2≤x≤2},故M∩N={x|-2≤x<-1}.
2.B　因为(x-i)i=xi-i2=xi+1,
所以xi+1=y+2i,得则x+yi=2+i.
3.D　由等差中项可知是等差数列,
且首项为,公差d=-=,
所以=+(n-1)×=,
所以an=,所以a10=.
4.B　由已知y=x2-x+2的对称轴为x=,开口向上,故在上单调递增,故a≥,推不出y=ax是递增函数.反之y=ax单调递增,则a>1,显然y=x2-x+2在
[a,+∞)上单调递增,故选B.
5.C　因为函数f(x)图象的对称轴是x=-,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-1<m<0,
于是m+1>0,故f(m+1)>f(0)>0.
6.C　因为a=(2,1),
所以|a|=.
又因为|a+b|=5,|a+b|2
=a2+b2+2a·b,
所以(5)2=()2+|b|2+2×10,
即|b|2=25,所以|b|=5.
7.A　3x+27y=3x+33y≥2=2=6,当且仅当3x=33y,即x=3y=1时等号成立.
8.A　由图形规律可知,选A.
9.D　因为sinα=,
α∈,
所以cosα=-,
所以tanα=-.
又因为tan(π-β)=,
所以tanβ=-,
所以tan2β==-,
所以tan(α-2β)=
==.
【方法技巧】条件求值的一般思路
(1)先化简所求式子或所给条件.
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
10.【思路点拨】画出可行域及目标函数图象,观察确定经过的点可解.
B　在坐标平面内画出不等式组
表示的大致平面区域,在坐标平面内平移直线2x+y=0,注意到当直线平移到经过直线2x-y=0与y=-x+b的交点时,目标函数z=2x+y取得最小值,再结合z=2x+y的最小值为3,分析确定b=.

11.C　f(x)=a·b+=(sinx,-cosx)·(cosx,cosx)+
=sinxcosx-cos2x+
=sin2x-(cos2x+1)+
=sin2x-cos2x
=sin.
因为0≤x≤,
所以-≤2x-≤,
所以-≤sin≤1,
即f(x)的值域为.
12.【思路点拨】求出数列{an}的公比,由等比数列的性质得到m,n的关系式,再利用常值代换,运用基本不等式求最值.
D　设{an}的公比为q,则有a5q2=a5q+2a5,即q2-q-2=0,解得q=2(q=-1舍去).
由=4a1可得
am·an=16=(a1·q2)2=,
所以m+n=6.
于是+=(m+n)=≥,当且仅当=,即m=2,n=4时,+取最小值.
13.【解析】由题意可知Δ=a2-16>0,得a<-4或a>4.
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)
14.【思路点拨】p是q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件.
【解析】由题知,q是p的充分不必要条件,p:a-4<x<a+4,命题q:2<x<3,则且不等式中的等号不能同时成立,所以-1≤a≤6.
答案:[-1,6]
15.【思路点拨】关键是求出平面区域被圆截得的弧所对应的圆心角的弧度数,可以根据边界直线的斜率得到倾斜角,再求出圆心角的大小.
【解析】画出可行域如图,依题意可知,
tan∠AOx=,tan∠BOx=,于是tan∠AOB==1,因此∠AOB=.
又圆的半径等于2,所以弧长l=×2=.

所以S=lR=××2=.
答案:
16.【解析】由直角三角形中勾股定理即a2+b2=c2可得边类比面.则有++=.
答案:++=
17.【解析】(1)因为f(x)=2sinωxcosωx·cos-sinωx·sin+
=sinωxcosωx-sin2ωx+
=sin2ωx-·(1-cos2ωx)+
=sin,
又f(x)的最小正周期T==4π,且ω>0,所以ω=.
(2)由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得
2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C).
又A+B+C=π,
故2sinBcosA=sinB.
而sinB≠0,故cosA=.
又A∈(0,π),故A=.
由(1)得f(x)=sin,
从而f(A)=sin
=sin=.
【加固训练】已知函数f(x)=2cosxsinx+-sin2x+sinxcosx+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)求函数f(x)的最大值及最小值.
【解析】f(x)=2cosxsinx+cosx-sin2x+sinxcosx+1
=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin+1.
(1)函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)因为-1≤sin≤1,
所以-1≤2sin+1≤3,
所以当2x+=+2kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值3.
当2x+=-+2kπ,k∈Z,
即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1.
18.【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点对称的点的坐标为(1-x,-1-y).
由已知得y=-,
则-1-y=-1+=-,
f(1-x)=-
=-=-
=-,
所以-1-y=f(1-x),
即函数y=f(x)的图象关于点对称.
(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),
即f(x)+f(1-x)=-1.
所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
19.【解析】(1)由已知xy=3000,2a+6=y,
则y=(6<x<500).
S=(x-4)a+(x-6)a
=(2x-10)a
=(2x-10)·
=(x-5)(y-6)
=3030-6x-(6<x<500).
(2)S=3030-6x-
≤3030-2
=3030-2×300=2430(平方米),
当且仅当6x=,即x=50时,“=”成立,
此时x=50,y=60,Smax=2430.
即设计x=50米,y=60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.
20.【思路点拨】(1)利用等差数列定义证明.
(2)利用错位相减法求和.
【解析】(1)设bn=,
所以b1==2,
则bn+1-bn=-
=·[(an+1-2an)+1]
=[(2n+1-1)+1]=1.
所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)由(1)知,=2+(n-1)×1,
所以an=(n+1)·2n+1.
因为Sn=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n+1]
=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.
设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,　①
2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,　②
②-①,得
Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1
=-4-+(n+1)·2n+1
=n·2n+1.
所以Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).
21.【思路点拨】(1)先求切线方程,令y=0得xn+1.
(2)分别用xn表示xn+1+2与xn+1-2后作商,再通过对数运算可得an+1与an关系,最后证明求解.
【解析】(1)因为f′(x)=2x,
所以曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),
即y-(-4)=2xn(x-xn),
令y=0,得-(-4)=2xn(xn+1-xn),
得+4=2xn·xn+1,而xn≠0,
所以xn+1=+.
(2)由xn+1=+,知xn+1+2=++2=.
同理,xn+1-2=,
故=.
从而lg=2lg,
即an+1=2an,且a1=lg3,
故{an}是等比数列,
所以an=2n-1·lg3.
22.【解析】(1)因为a·b=×+(-1)×=0,所以a⊥b.
(2)因为x⊥y,所以x·y=0,
即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.
整理,得-ka2+[t-k(t2-3)]a·b+t(t2-3)b2=0.
因为a·b=0,a2=4,b2=1,
所以上式化为-4k+t(t2-3)=0,
所以k=f(t)=t(t2-3).
(3)讨论方程t(t2-3)-m=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线k=m的交点个数.
f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1),
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.
当t变化时f′(t),f(t)的变化情况如表所示:
t
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(t)
+
0
-
0
+
f(t)
↗

↘
-
↗
当t=-1时f(t)有极大值,极大值为.
当t=1时f(t)有极小值,极小值为-.
而f(t)=t(t2-3)=0时,得t=-或t=0或t=.
所以f(t)的图象大致如图所示.

于是当m>或m<-时,直线k=m与曲线k=f(t)仅有1个交点,则方程有1个解;
当m=或m=-时,直线k=m与曲线k=f(t)有2个交点,则方程有2个解;
当-<m<时,直线k=m与曲线k=f(t)有3个交点,则方程有3个解.

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