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考前仿真检测（二）
(限时：80分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1．设U＝R，P＝{x|x2<1}，Q＝{x|x≥0}，则P∩(∁UQ)等于(　　)
A．{x|－1<x<0}　　　　 B．{x|x<0}
C．{x|x<－1} D．{x|0<x<1}
解析：选A　P＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，∁UQ＝{x|x<0}，则P∩(∁UQ)＝{x|－1<x<1}∩{x|x<0}＝{x|－1<x<0}．
2．|2x－1|>3的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．(－2,1) D．(－1,2)
解析：选B　由|2x－1|>3得2x－1<－3或2x－1>3，
解得x<－1或x>2.
3．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3,0] B.(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析：选A　由题意知解得－3<x≤0，所以函数f(x)的定义域为(－3,0]．故选A.
4．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D　当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．
5．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为(　　)
A. B.
C. D．
解析：选B　由a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，得b＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)．设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以θ＝.
6．已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于(　　)
A．100 B．210
C．380 D．400
解析：选B　因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，故S10＝10×3+×10×9×4＝210.
7．若sin ＝，则cos α等于(　　)
A．－ B.－
C. D．
解析：选C　因为sin ＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝.
8．设a＝log23，b＝log43，c＝0.5，则(　　)
A．c<b<a B.b<c<a
C．b<a<c D．c<a<b
解析：选A　a＝log23，b＝log43＝log2，c＝＝log2，而y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以a>b>c.
9．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)
A．最大值为0 B.最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C　因为x<0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，故当且仅当－x＝，即x＝－1时f(x) 有最大值为－4.
10．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1) B.(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C　因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．

11．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f 等于(　　)
A．－ B.－
C. D．
解析：选A　因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f ＝f ＝f ＝
－f ＝－2××＝－.

12．设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α B.若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β
C．若a∥α且a∥β，则α∥β D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β
解析：选D　A项中，应该是b∥α或b⊂α；B项中，如果是墙角的三个面就不符合题意；C项中，若α∩β＝m，且a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确；故选D.
13．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：选C　由题意可得
或
解得a>1或－1<a<0，因此选C.
14．若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是(　　)
A．2 B.4
C．7 D．8
解析：选C　画出x，y的约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u＝2x＋y，则y＝－2x＋u，先画出直线y＝－2x，再平移直线y＝－2x，当经过点A(3,1)时，代入u，可得最大值为7，故选C.

15．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　　)
A．5x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．5x2－＝1
解析：选D　因为抛物线的焦点为F(1,0)，所以c＝1.
又＝，所以a＝，所以b2＝c2－a2＝1－＝.
故所求方程为5x2－＝1.
16．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选D　根据已知得＝π，得ω＝2.由不等式2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
17．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边AD长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且AB＝BC＝1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是(　　)

A．1 B.
C. D．

解析：选C　将三视图还原为立体图如图所示．
其中E为AD中点．
且PE⊥平面ABCD.
因为ED∥BC且ED＝BC，
所以四边形BCDE为平行四边形，
所以BE∥CD.
所以∠PBE即为异面直线PB与CD所成的角．
因为PE⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以PE⊥BE.在Rt△PEB中PE＝1，BE＝.
所以tan∠PBE＝＝.
18．在椭圆＋＝1(a>b>0)上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ＝，则该椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．
解析：选D　因为Q在椭圆内，所以以F1F2为直径，原点为圆心的圆在椭圆内部，
所以c<b，则c2<a2－c2，即e2<，故e<.
令PF1＝m，PF2＝n且sin∠F1PQ＝，
则cos∠F1PQ＝，
所以4c2＝m2＋n2－2mn×，
又m＋n＝2a，则4c2＝4a2－2mn，
即2mn＝(a2－c2)，
而mn≤2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
所以(a2－c2)<2a2，即26a2－26c2<25a2，
也即e2>，所以e>，
故椭圆离心率的取值范围是，故应选D.
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，则sin C＝________；若b＝3，则c＝________.
解析：在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝.因为cos B＝，所以sin B＝.
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×
＝.
由正弦定理知＝，
所以c＝＝＝.
答案：　
20．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0，在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：因为4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，
所以4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.所以a的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
21．若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则·的值为________．
解析：由题意可知，圆心C(3,3)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝＝.又因为sin∠BAC＝＝，所以∠BAC＝45°，又因为CA＝CB，所以∠BCA＝90°.故·＝0.
答案：0

22．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点．点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．
解析：取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，
设M在平面ABB1A1中的射影为O，
过MO与平面AEFD平行的平面为α，
所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，
其周长与矩形AEFD的周长相等，
因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，所以AE＝，
所以矩形AEFD的周长为2＋.
答案：2＋
三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23．(本小题10分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
解：(1)由题中图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入得sin＝1，而－<φ<，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin.
(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，
所以－1≤sin≤，所以f(x)的取值范围是.
24．(本小题10分)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为p，E(5,0)是圆M与x轴的不同于F的一个交点．
(1)求抛物线C与圆M的方程；
(2)过F且斜率为的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．
解：(1)由抛物线的定义知，圆M经过焦点F，Q，点M的纵坐标为p，又M∈C，则M，|MF|＝2p.由题意，M是线段EF的垂直平分线上的点，所以＝，解得p＝2，故抛物线C：y2＝4x，
圆M：(x－3)2＋(y－2)2＝16.
(2)由题意知直线n的方程为y＝(x－1)，
由解得或
设A(4,4)，B，则|AB|＝.
点Q(－1,2)到直线n：4x－3y－4＝0的距离d＝，
所以△ABQ的面积S＝|AB|·d＝.
25．(本小题11分)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为f(x)＝ex－x＝ex－，所以f(x)在R上是增函数．
因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，
则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立
⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，
又2≥0，所以2＝0，所以t＝－，
所以存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．