一维六方压电准晶双材料界面共线裂纹的反平面断裂问题.pdf

目的研究一维六方压电准晶双材料界面共线裂纹的反平面断裂问题暎暎方法方法利用复变 函数理论中的解析延拓、奇性主部分析和推广的Lio u vil l e定理，在电渗透边界条件下研究暎暎结果结果给 出了 1条界面裂纹受4种不同外载荷作用及2条等长界面裂纹受无穷远均匀载荷作用等几个典型问题 的解析解暎暎同时导出了相应问题场强度因子(声子场、相位子场应力强度因子和电位移强度因子)的解 析表达式暎暎结论结论理论结果表明：当趋于裂纹尖端路径选在双材料界面上时，场强度因子大小与材料弹 性常数无关，仅与裂纹尺寸及裂纹所受外载荷大小有关且成正比，即随着裂纹尺寸和外载荷的增大，场，场 强度因子随之增大暎 暎关键词关键词：一维六方压电准晶双材料；界面共线裂纹；复变函数理论；电渗透条件；场强度因子中图分类号中图分类号:O34 3.8 文献标志码:文献标志码:A 文章编号：文章编号：1007-1261(2023)01-0047-07Anti-plane frac ture problem of c ollinear interfac ial c rac ks in one-d imensional hexagonal piezoelec tric quasic rystalsPANG Na(Xin h u a Co l l eg e o f Nin g xia Un iver sit y,Yin c h u a n 750021,Nin g xia,Ch in a)Abstrac t：PurposesTo d isc u ss a n t i-p l a n e fr a c t u r e p r o bl em o f c o l l in ea r in t er fa c ia l c r a c ks in o n ed imen sio n a l h exa g o n a l p iezo el ec t r ic q u a sic r yst a l bi-ma t er ia l s.Method sTh is p r o bl em is st u d ie d a t t h e el ec t r ic a l l y p er mea bl e bo u n d a r y c o n d it io n by u sin g t h e a n a l yt ic c o n t in u a t io n,sin g u l a r p r in c ip a l p a r t an a l ysis a n d t h e ext en d ed Lio u vil l e t h eo r em in t h e c o mp l ex va r ia bl e fu n c t io n t h eo r y.Results一Th e a n al yt ic a l so l u t io n s o f sever a l t yp ic a l p r o bl e ms,su c h a s a sin g l e in t er fa c ia l c r a c k su bjec t ed t o fo u r d ifferen t ext er n a l l o a d s a n d t wo eq u a l l en g t h in t er fa c ia l c r a c ks u n d er in fin it e u n ifo r m l o a d,a r e o bt a in ed.Th e a n a l yt ic a l exp r essio n s o f t h e fiel d in t en sit y fa c t o r s(st r ess in t en sit y fa c t o r s a n d el ec t r ic d isp l a c e-me n t in t e n sit yfa c t o r so fp h o n o n fiel d a n d p h a sesu b-fiel d)a r e d er ived fo r t h er e l e va n t p r o bl ems.Con-c lusonsTh e r e s u l t s s h o wt h a t t h e fie l d in t e n s it yfa c t o r s a r e in d e p e n d e n t o ft h e e l a s t ic c o n s t a n t o f ma t er ia l sbu t isp r o p o r t io n a l t o t h e c r a c kssize a n d t h e ext er n a l l o a d sifsel ec t in g t h ep a t h o n t h e in t e r-fa c e o f bi-ma t e r ia l s t o t h e c r a c k t ip.In t h is c a se,t h e fiel d in t en sit y fa c t o r s a r e in c r ea sin g wit h t h e inc r ea se o f t h e c r a c k size a n d t h e ext er n a l l o a d.Key word s:o n e-d imen sio n a l h exa g o n a l p iezo el ec t r ic q u a sic r yst a l bi-ma t e r ia l s；c o l l in ea r in t er fa c ia l c r a c k；c o mp l exva r ia bl efu n c t io n t h eo r y；el ec t r ic a l yp er mea bl ebo u n d a r yc o n d it io n；fie l d in t en sit yfa c t o r准晶是1984年发现的一种不同于晶体和非 晶体的新型材料1 暎因其特殊的准周期有序结 构，准晶具有高强度、高硬度、耐磨、耐热等优良性质暎压电效应是准晶独特的物理性质之一，压电 准晶材料比普通压电材料具有更广阔的应用前 景。因此，关于压电准晶材料断裂力学行为的 收稿日期：2022-08-08,修回日期：2022-09-18基金项目：宁夏高等学校科学研究项目(NGY2020101)作者简介：庞 娜(1987-),女，宁夏固原人，讲师，研究方向：计算数学、数学物理方程反问题.Ema il：810504 870q q.c o m48宝鸡文理学院学报(自然科学版)2023 年研究成为材料学和力学的研究热点之一。利用复 变函数理论，皮建东等椲椵研究了一维六方压电准 晶运动螺型位错的弹性问题；基于保角映射技术,在部分渗透边界条件下，YANG et a l讨论了一 维六方压电准晶中带2个非对称裂纹椭圆孔的断 裂问题。HUe t a l研究了一维压电准晶材料中 的部分脱粘圆形夹杂模型，得到了声子场、相位子 场的应力强度因子及电场的电位移强度因子。通 过构造广义保角映射，高媛媛等6研究了一维正交 准晶中具有穿透性的椭圆孔口的平面弹性问题。压电准晶双材料是由2种不同性质(材料弹 性常数不同)的压电准晶利用某种结合方法连接 在一起的材料，其结合部分称为界面。压电准晶 双材料界面往往会出现裂纹、孔洞、夹杂等缺陷,这些缺陷是降低结构强度和破坏材料结构的主要 原因。HUe t a l通过把复杂的边值问题转化为 Riemma n-Hil be r t边值问题，求解了 一维六方压 电准晶双材料界面裂纹在反平面剪切和电载荷作 用下的断裂问题。基于等几何分析单元方法,YANG et al8椵探讨了一维六方准晶双材料中V 型裂纹(缺口)问题。基于复变函数方法，赵月 等椲椵研究了一维六方准晶压电双材料中的螺旋位 错问题，获得了电弹性场的解析解。马园园 等椲0、翟婷等椲1利用分区全纯函数和奇异主部 分析方法分别探讨了点热源作用下无限大十二次 对称二维准晶基体和圆形弹性夹杂、圆形准晶夹 杂界面之间含多条裂纹的问题。张炳彩等椲2基 于St r o h公式讨论了一维六方准晶双材料中圆孔 边不对称共线界面裂纹的反平面问题。查阅文献发现，还未有学者研究含共线界面 裂纹压电准晶双材料的断裂问题。本文利用经典 复变函数理论，将各向异性双材料中界面共线裂 纹的求解方法推广到一维六方压电准晶双材料界 面共线裂纹问题中，得到的研究结论可拓展界面 断裂力学的应用范围，为压电准晶双材料的应用 提供理论依据。1问题描述及基本公式问题描述及基本公式取z轴为一维六方压电准晶准周期方向，8$面为其周期平面，建立直角坐标系。由2种不同材 质的一维六方准晶材料组成无限大一维六方准晶 双材料，记材料I所占的上半平面为S+，材料栻 所占的下半平面为&和&中的量分别用下 标ife 1,标记。由文献8可知，一维六方压电 准晶双材料声子场城，相位子场位移3城和电势 Pk可表示为：他Re 滋(1)1(1)+輕(),3城一Re0*(1)+如S),(1)滋Re%(1)1()+%(),其中，,1,2,2(1),*(1),(1)为上、下半平 面的任意解析函数，Re表示复变函数的实部。一维六方准晶压电双材料声子场应力(1说，)，相位子场应力(H试，H吠)和电位移(Da,DQ分量表示为椲:Ozzk 14钊(1)+1?3聲(1)+*(1)+R3*W(1)+e 5 1(1),Ozsk 1C4*(1)+R3P(1)+e 5r(1)C4 取(1)一 Rsr 也(1)e 5 r(1),H说眠()+应凹讥()+e 5l()+R3Z&()+K2E 少()+e 5 1(),_ _ _(2)H说1R3風(1)+KiS)+e 5l(1)！?3心(1)也(1)e 5 r(1),D/1e5z(1)+1)暿 111()+虫(1)+R3*()暿 111(1),D*1e 5C(1)+1)暿111(1)e 5 钊(1)RrkS)+暿11(1),其中，Ciik,分别为声子场和相位子场弹性常数，Re为声子场一相位子场耦合系数,55表 示压电常数，暿1表示介电常数，且有：眠(1)卩,(1)%+蠢(1),如(1)0(1)九+W(1),(3)巧(1)y&(1)$+(1),其中,$灣(),羽灣(1)在无穷远处的值为0,伞,$刻画无穷远声子场、相位子场剪应力和电位移。记无穷远处声子场、相位子场反平面剪应力及电 位移分别为。曓1曓1 竝成),H曓(H曓 H；2 HR和D曓(曓一。曓一D曓),从而/曓 曓、曓 xjk P r v曓 r y曓zxk 9 人 F xrk 1 H 穷匕，Q xk 1。第 1 期庞 娜一维六方压电准晶双材料界面共线裂纹的反平面断裂问题49如图1所示，在一维六方压电准晶双材料界 面上分布若干条共线裂纹。取双材料界面为工轴,在h轴上记n=。裂纹所占区间为L=U J，记第j=ij条裂纹端点为4,。2种一维六方压电准晶界面 完全粘结部分记为L。上、下裂纹面分别作用声子 场、相位子场反平面剪切力Pkqk及电位移D-，忑,D；00O OOO 11 o1 _ 1IX|O町I D；iPi、q“DiO1HQ Q Ox|g1【O21P12,D2II1 忑g0也()=卫1，爲2()=p2,H：()=q i,H2()=q2,(5)Dj()=Di,D2()=D2,暿 L 这里讥椊等椊器,椊灥，上标+和一 分别表示从扌和s-趋于工轴的函数值。由(5)式可得：心()+耳2(t)=pi+p2,H：i()+H2()=q i+q 2,Dj()+D2()=Di+D?,点 1()一 2()=Pl 一 p2，HQ()H2()=Qi q2,Dji()一 D2()=Di 一 D2,G L 在电渗透条件下，裂纹面上声子场、相位子场 位移及电势的单值条件为13：辺()恣1(d j)棲=)Uz2(j)一,3辺()一 3辺()+=Sz2()Wz2(j)-，一(，)+=%(j),(6)，忑,/图1共线界面裂纹受反平面剪切力和电位移Fig.1 Collinear interfac e c rac ks are subjec ted to anti-plane shear stress and elec tric d isplac ement 在电渗透边界条件下，一维六方压电准晶双 材料界面上(4)和(5)式成立。点棻()=c2(),H1()=H2(t),Dt 椊 Dj，”需()=1/一2(),(4)s l i()=3：(t),g t=9一,暿 L(C441 i()t R31 1()t ei51 r iO)t(C442 d()t R32 A2()t e152()n 暿 g()楙(C442 2()t R32 2()t 52 R()t(C441 Q()t R31 A()t 015101()”暿(C441 1()t R3】1()t e15iri O)(C442 02()t R32 A2()t 52 2(),S 暿卩 I(C442 2()t R32 亜()t ei52 r2()一(C441 q()113】Ai()t ei51 i(),q 暿(3】()t K21 W()t 云5111()t(32 2()t K22 A2()t 匕 152 2(),q 暿()l(R32 2()t&2塁()t 比22()t(3卫1()t K 21 人1()t 51 1()，”暿(R3I()t K21 W1()t()一(R32。2()t K22 人2()t W52 2(),q 暿K()=n n楙(R32 2()t K22 W2()t 1522()一(R3 01()t K21 A1()t 51 1(),S 暿(1 1()t 玄51 丫1()一 暿 iii 11()t(2 2()t 晶人2()t 暿 112 2()，”暿$()=I(152 2()t 舄见()一暿112 r2()t(151 Qi()t e151 Ai()t 匕151 i()，”暿 SI(151()t 云51 W1()暿11()一(152。2()t 452 72()t 暿112 2()，”暿守/c O=1(152 2()t$52 W2()暿112 12()一(爲 01()t d51 Al()t 云51 1()，”暿 SU2O,/+一其中,=1,g。利用Sc h wa r z解析延拓原理13,定义4（）=眠（）=：（）AkO=W kO=W（）铁（）几（），S-S-寸S-S-S+s-s+s(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)考虑无穷远处应力和电位移状态，结合界面 上的应力和电位移条件，得到13:&()=曇J L牛一2 d t巾乖，t一 N 1 p()=X。()卫 1 t 怏 毿 J L()冬+氏()x()=一斗虹一t入A2,L J L t ZK()棭 d t Q()疋(),L J L X(T()t N()椊 匕-dt t 乙，兀 J L t一 Z/()=一 棭 D+D 2 d t F(X0(),L J L t N其中,50宝鸡文理学院学报S自然科学版)2023 年X0(s)=暻(s a,一丄(s )一丄。暻1在沿L割开的平面上取单值分支，且l im nX0(s)=1,旤n|曻曓而 Pn()=zn+z棴+Co,Qn()=dnZ”+c Zl X1+d0,Fn()=zn+一 1 z1+九，这里C“椊巾+2,椊入+亍2，椊$+&。Pn(),/(),()中剩下的3n个常数可由位 移单值条件确定,表示为：OOd z,AOd N,p o d,督 J曈 J曈其中,为包围裂纹L顺时针方向闭围道，且()棲。2()，暿0()=楙 丨2()+4()，暿 S(WS)+4()，暿扌5()=楙I 业()+人1(),暿 r(11()+2()，暿牛0()=|楙2()+01()，暿 S2 典型问题的封闭解及应力强度因子典型问题的封闭解及应力强度因子如图2,在无穷远均匀应力和电位移作用下/曓 曓 曓 T_J 曓1 T T 曓1 T_J曓1 7曓1 Tl曓1、I(y 1y z2，”yz1，yz2，”了2，y 丿”一 维六方压电准晶双材料界面上仅有1条长度为2a 的裂纹，此时这里D丄丄D1Dh=X0()=1Vzr ccp=pi=p2=0,=q i=q2=0,D=Di=D2=0。由(9)(14)式可求得：霰()椊黑-I(巾+)入&+(:+入21_/z2 CL _厂 p I(i+。之51$S+尬)+环()椊卡巾F+佇棴;-+nD2Dk E+(Si+lz2 a2+口()椊畏D3 g 一&+(1+E)NDk擁 厶2 /擇(0)C44 R-3Dk=R3kK.2k eLfe 5f e 15f e 暿 11K2k匕5,1椊R3k 15f e暿11暿iiRfe匕5C44臣匕5匕5暿11匕5暿iiC44花R3k，岛R3上K?怡 匕5 15f e-|(1+帝)71 一 年+1+入一入2+(1+入2)lz2 a2 _(15)(16)(17)(18)(19)D3 44f e5fe 3f e15fe,3=兀,忑,D；C44匕3kR3OOOOOI I I K.I I oD：i 1 J_.%1!a a OI II I K2g i 1 oD：2 ，忑,D；图2单个裂纹受无穷远均匀应力和电位移作用Fig.2 A single c rac k is subjec ted to infinite uniform stress and elec tric d isplac ement如图3,维六方压电准晶双材料界面上有1 条长度为2a的裂纹内的裂纹面t=玄(一Q Vt o V a)作用纵向声子场集中剪切力Pi,相位子场集中剪切力P2和集中电荷Q,无穷远处 应力为0,可得：眠()几()1必()毿(0)DIP】DIP?+D1QDk_ i 丄1丄后毿(一玄)丄+佇D2P1 D2P2+D2QDk11+血毿(玄)1 V 2D3P1 D2P2+D3QDk。/圧掫棴2/掫Vt Q a2=梹(21)(22)(23)第1 期庞 娜一维六方压电准晶双材料界面共线裂纹的反平面断裂问题51MS)1(1 1!2 ylz cF),(27)D2Q1 D2$+D2QDk1(1 n s)=一 蔷2/z2 c2),(28)D3S1 IS2+19)图3单个裂纹受纵向集中剪切力和集中电荷作用 Fig.3 A single c rac k is subjec ted to longitud inal c onc entrated stress and elec tric c harge 类似的，可求出上下裂纹面上作用一对反平14)15)D3P1 D2P2+D3Qi(s l a2)。图4单个裂纹受一对集中剪切力和集中电荷Fig.4 A single c rac k is subjec ted to a pair of c onc entrated shear stress and elec tric c harge沁2 1o 6 o,aSQ,11(26)Dk对于图5,上下裂纹面作用反平面声子场均 布剪切力S，相位子场均布剪切力S2和均布电荷 Qt的情形,由14）（26）式积分得到：心=一 1 D1S IXS2+D1CL 一k V Z2 a2图5上、下裂纹面作用反平面均布剪切力和均布电荷 Fig.5 The upper and lower c rac k surfac es are subjec ted to the anti-plane uniform shear stress and uniform c harge 如图6,维六方准晶双材料界面上有2条 等长裂纹，且裂纹受无穷远均匀应力和均匀电位 移作用，得到：一 ES）1 一KS）/）（S2 _卩2 梹1 一凡+（入+凡）1 一&2 K）*皿住（；22）寻 Q-$棲（&棲。*（魯）1必1峠Dk电（1）1p1伞命+（伞+命）*（空DkDk+1 左）（S2 F）_，P1卜一乖+5+初十一声K）暏心/（1 入1 一凡+凡）2b気）*（量（护）-E+&+。*s 一 魯）*c/（一 严）擇，皿1）占 P1 -+1+伞）*（一 b软）*皿/（2 鬥 E（1）_1_K（s）丿*MS 圧）（空庁）-2+O*（_ 閑a1（）_D3kDk2p2 入 1 一 入2+（11+入2）*（空一甘Dk+(30)(31)(32)52宝鸡文理学院学报S自然科学版)2023 年其中：K()E()分别是第一类和第二类完全椭 圆积分暎图6 2条等长裂纹受无穷远均匀应力和均匀电位移作用Fig.6 Two equal length c rac ks are subjec ted to infinite uniform stress and uniform elec tric d isplac ement 把趋于裂纹尖端路径选在双材料界面上，可 利用均匀材料应力强度因子定义给出一维六方压 电准晶双材料裂纹尖端场强度因子定义7:K栿=2毿 Im l im Vt a C4 4臣()+LaRk()+匕5几(),K栿=一 丁2毿 Im l im lt a R3&C()+曻(33)KkS)+応1(),K栿=2毿Im l im Vt a5左()+/曻仇為如()+暿 11 口(),其中：K栿和K栿分别表示声子场和相位子场应力 强度因子，栿表示电位移强度因子暎(a)在无穷远均匀应力和电位移作用下，界 面仅有1条裂纹时，K栿丨旤=毿為,K栿|椊岳H曓，(34)K栿|=D再。当忽略电场作用且当材料1和栻均为相同 的准晶材料时，该结论与文献口4 中Gr iffit h裂 纹给出的结果完全吻合暎(b)1条界面裂纹，裂纹面上受集中剪切力和 集中电荷，K栿|丄椊K栿|(35)(c)1条界面裂纹，裂纹面上受一对集中剪切 力和集中电荷，(36)K栿|K栿|K栿|Q a+仏/毿J a心(d)1条界面裂纹，裂纹面上受反平面均布剪 切力和均布电荷，K栿|=Si/毿I,K栿 椊 S2 岳，(37)K栿|工=a Q V毿Q。(e)2条界面裂纹，任意位置受无穷远均匀应 力和均匀电位移作用，K栿|K栿|K栿|(38棭K栿|=。曓b毿)梹 梹1E()/1K()掫U2 a2”K栿|毿)掛1-E()/1K()掫g a2?K栿|=b=D；b毿)掛1-E()掤/1K()掫4 a2。(39棭 由(35)(39)式可以看出,当趋于裂纹尖端 路径选在双材料界面上时，场强度因子大小与材 料参数无关，仅与裂纹尺寸及裂纹所受外载荷大 小有关且成正比，即场强度因子随着裂纹尺寸和 外载荷的增大而增大。当忽略相位子场和电场作用时，一维六方压 电准晶双材料可看成各向异性双材料，此时本文 给出的声子场结论与文献15相应结论一致。退 化结果的正确性说明本文求解的正确性暎 3结论结论在电渗透边界条件下研究了一维六方压电准 晶双材料界面共线裂纹的反平面断裂问题暎运用 复变函数理论、奇性主部分析.Sc h wa r z解析延拓 原理，利用双材料界面上应力和位移边界条件，把 第1 期庞 娜一维六方压电准晶双材料界面共线裂纹的反平面断裂问题53问题转化为解析函数边值问题进行求解，得到了 几种典型问题应力函数和场强度因子的解析解。从场强度因子的解析表达式中可以看出，声子场、相位子场应力强度因子和电位移强度因子随着裂 纹尺寸及外载荷的增大而增大。通过对比所得结 果与已有结果，验证了该方法的有效性及本文求 解的正确性。本文所得结论可为压电准晶双材料 的制备和优化设计提供一定的理论基础。参考文献参考文献：SHECHTMAN D,BLECH I,GRATIAS D,et a lMet alic p h a se wit 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