课时跟踪检测(四十一) 空间图形的基本关系与公理.doc

课时跟踪检测(四十一)　空间图形的基本关系与公理
第Ⅰ组：全员必做题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行　　　　　　 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
2．(2014·聊城模拟)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互为异面直线
3．(2013·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2013·新乡月考)已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则(　　)
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
6.(2014·三亚模拟)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为(　　)
A.　　　 B．－　　　
C.　　　 D．－
7.(2013·沧州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
8．(2013·临沂模拟)过正方体ABCD ­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
9．如图，平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．

(第11题图)　　　　　　　　　(第12题图)
12．如上图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．
第Ⅱ组：重点选做题
1．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

2．(2013·许昌调研)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

答 案

第Ⅰ组：全员必做题
1．选D　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2．选C　不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.
3．选A　若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．
4．选C　若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．
5．选B　对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A；对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确；易知C、D不正确．
6.选A　延长CD至H.使DH＝1，连接HG、HF、则HF∥AD.
HF＝DA＝，
GF＝，HG＝.
∴cos ∠HFG＝＝.
7．选B　连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.
8．选D　如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，
∵BB1∥AA1，BC∥AD，
∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．
9．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．
答案：5
10．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
答案：②③④
11．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
答案：3
12．解析：∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，
∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
答案：30°
第Ⅱ组：重点选做题
1．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
2．解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD.又BC綊AD，
故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以EF綊BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．