双曲线（培优案）.docx

双 曲 线
1.双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于 常数 (小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ,两个焦点间的距离叫做双曲线的 .
思考：如果去掉“小于|F1F2|”的描述，得到的图形还一定是双曲线吗？

注意关键词“绝对值”:若去掉定义中的“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支。
2.双曲线的标准方程:双曲线的标准方程中,焦点所在位置与a､b孰大孰小无关,而与二次项系数的正负有(与椭圆区分)
标准方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
图形

范围

焦点
左焦点F1( , ),右焦点F2( , )
下焦点F1( , ),上焦点F2( , )
顶点

渐近线
方程

轴
线段 是双曲线的实轴,线段 是双曲线虚轴(与椭圆的长轴､短轴区分);
实轴长= ,虚轴长= ｡a叫做双曲线的 ,b叫做双曲线的 ｡
3.双曲线的离心率：双曲线的 与 的比叫做双曲线的离心率，通常用e表示，即。
应当注意到，椭圆与双曲线的离心率只与它的形状有关（扁不扁，开口大不大？），而与图形整体的大小无关，因此，我们只要寻找到一个特殊的a，b，c之间的关系，就可以立刻得出离心率e，因此找到a，b，c之间的关系才是求离心率e的重点。
题型一 双曲线定义的应用
例1.(1)（求三角形周长）设过双曲线x2－y2＝9右焦点F2的直线交双曲线的左支于点P，Q．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　) A．19　　B．26 C．43 D．50

（2）（求三角形面积）已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　) A．1 B． C．2 D．

(3)（求最大最小值） 已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A．＋4 B．－4 C．－2 D．＋2

题型二 双曲线的标准方程
例2.（1）（直接法）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，
且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1

（2）（待定系数法）已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1

（3）（共渐近线双曲线系）在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．

（4）（共焦点双曲线系）．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1

课堂小结:[方法与技巧] 双曲线标准方程的求法：
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为－＝1 (mn>0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1 (AB<0)，这种形式在解题时更简便；
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；
(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值．
课堂练习:（1）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线
l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
(2)双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,且过点A(4,-),B，求双曲线的标准方程:

题型三 双曲线的几何性质
例3.（1）（求双曲线线离心率）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　)
A．　　　B．2　　　C．　　 D．

（2） （求双曲线的渐近线）双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x

（3）(求参数的值或范围)已知方程 －＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　)
A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，)

（4） （选讲提升）已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋)

【课后作业】1、已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)
A．－＝1　　B．－＝1(x≥4) C．－＝1 D．－＝1(x≥3)
2、设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆
3、已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1
4、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞)
5、设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|＝2|QF|，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．1＋ C．2＋ D．4＋2

6、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1　　　B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
7、若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2)

8、双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
9、 若双曲线的离心率为，则实数的值为_____．

10、已知为双曲线的左右焦点，点P在C上，,则为 。