曲线经典例题.doc

例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．
例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．

例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
例7 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点的轨迹方程．
例8 已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

例10 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
例11 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．
例13 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
例15　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为
A．4　　　B．2　 　C．8　 　D．
例16 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．
例17 在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．

例18 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）
A. B. C. D.
【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为
（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是
（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.
（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美
实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.
【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.
● 通法 特法 妙法
（1）方程法——为解析几何正名
解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.
【例6】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该
双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双
曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）转换法——为解题化归立意
【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ）
A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>
（3）几何法——使数形结合带上灵性
【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C. D．
（4）设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：
【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）
A. B. C. D.
【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
（5）设参消参——换元自如 地阔天宽
一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.
【例11】如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线与双曲线的左右
两支分别交于、两点，设，当
时，求直线的斜率的取值范围.
双曲线
1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
l 2．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
例1：点M与点F (－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程．
例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．
例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；
(3) 已知抛物线方程为y=－mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程；
(4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；
例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上
常用结论
① 过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2
③ 设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)
例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p2．
弦的问题
例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA^OB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
(2)直线AB经过一个定点
(3)作OM^AB于M，求点M的轨迹方程
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
例4 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
①求抛物线方程; ②求面积的最大值
例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？
例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．
例3 直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k．
（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；
（2）求出的定义域及单调区间．
例4 如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．

例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．
例6如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求．（2）求△ABQ面积的最大值．
例8　已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程．

例9　如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积．

例10　设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离．
例11　如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点，求的值．

12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？
13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足=t+(1-t)(t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.