第十八章---勾股定理设计.docx

第十八章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
教材：新人教版义务教育课程标准实验教科书
教学任务分析
教学目标
知识技能
了解补割面积的方法，理解证明勾股定理，掌握直角三角形三边关系，并能运用勾股定理解决实际问题。
数学思考
1、通过观察、发现、猜想、证明和运用勾股定理的过程，体会有特殊到一般，再由一般到特殊的思维过程；
2、通过对直角三角形中的三边关系的认识，理解数形结合的思想。
解决问题
1、在探索直角三角形三边关系的过程中，理解补割面积的方法；
2、能利用勾股定理解决已知两边求第三边和简单实际问题。
情感态度
1、通过对勾股定理探索过程的了解，感受数学文化，激发学习热情；
2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生合作交流的意识和探究精神。
重点
探索勾股定理
难点
用拼图法证明勾股定理
教学准备
教具
多媒体课件.
学具
直角边为a、b，斜边长为c的四个全等三角形
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1创设悬念，铺垫新知
通过对直角三角形已有知识的认识，引发学生对直角三角形三边关系的关注。
活动2 情景创设→探究新知
通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望.观察分析方格图，得出直角三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力.
活动3实验探究 验证定理
通过剪拼赵爽弦图证明勾股定理，体会数形结合思想，激发探索精神.
活动4 解释勾股定理内涵
使学生认清勾股定理的本质特点，为学生解决数学问题和实际问题打下基础。.
活动5 实践应用→拓展提高
初步应用所学知识，加深理解.
活动6 回顾小结→整体感知
回顾、反思、交流.
活动7 布置作业→巩固加深
巩固、发展提高.
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
【活动1】 创设悬念，铺垫新知
1、什么样的三角形是直角三角形？
2、直角三角形角与角之间，边与角之间有什么关系？
3、直角三角形边与边之间又有什么关系？
4、直角三角形除了拥有三角形三边的不等关系外，它是否还有神秘的相等关系呢？同学们想知道吗？
1、学生先做出讨论和思考，教师补充。

2、设置悬念，引发学生思考？

通过对直角三角形已有知识的认识，引发学生对直角三角形三边关系的关注。
【活动2】情景创设→探究新知
在发现直角三角形三边关系有许多传奇的故事：
1、相传在2500年以前，他在朋友家做客时，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯发现朋友家用地砖铺成的地面如图18.1-1：如果设每个块小正方形的边长为1，请大家思考：
（1）三个着色的正方形围成的三角形是什么三角形？
（2）上面两个小正方形的面积分别为多少？下面的大正方形面积呢？你发现三个正方形面积之间有什么等量关系？
（3）如果设中间这个直角三角形两直角边m、m，斜边为n，你发现它们有什么关系吗？

2、等腰直角三角形三边有这个关系，那么一般三角形是否也具有如上关系呢？请大家再观察如图18.1-2是以直角三角形三边向外做三个正方形A、B、C，设网格中每个小正方形面积为1，请思考：

（1）如何计算图中A、B面积分别为多少？
（2）C的面积如何计算？谁有好的方法呢？
（3）你发现A、B、C面积有什么等量关系？
（4）如果设A的边长为a,B的边长为b，C的边长为b，你发现a、b、c之间有什么关系吗？
（5）由此你发现之间三角形三边有什么等量关系？
教师应当关注：

1、通过等腰直角三角形三边关系的探索，
（1）教师要注意引导学生由面积实现到直角三角形三边关系的转化；

（2）教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方初步归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
a2+b2=c2

2、教师应关注：
（1）学生对正方形C的面积认识，先让学生思考，谁有好的方法？（2）如果学生认识上有困难，教师就引导学生将正方形C割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，或者把正方形C补成一个大正方形；
（3）正方形A、B、C面积如何由a、b、c表示；
（4）学生对勾股定理的概括能力。

1、 通过对等腰直角三角形三边关系的探究，发现直角三角形三边关系；

2、通过对一般直角三角形三边关系的探索，猜想直角三角形三边关系，体现一般到特殊的认知规律。
【活动3】实验探究验证定理
是所有的直角三角形都有这样的特征呢？这就需要我们对一般直角三角形进行证明。到目前为止，对这个命题的证明方法已经有好几百种。下面我们就来看看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的。
1、小组合作用手中的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c的四个全等的直角三角形和一个正方形拼成如图的一个大正方形。

（1）（2）
问题1：图（1）中四个直角三角形的总面积为多少？
图（2）的面积中直角三角形的总面积还有其他表示方法吗？
问题2：这两种表示方法有什么关系？把关系式写出来，你会得出什么结论？
问题3，对上面的问题，还有其它计算方法吗？如图（3）、（4），请大家自己阅读。

（3）（4）

教师重点关注
1、 学生动手操着的能力与同伴交流的意识；
2、 对四个直角三角形面积的探究的认同，即面积的不同并表示方法的一致性。
3、 关注学生探究这四个面积方法的多样性。
4、关注学生对证明之后的表达概括能力。
通过讲传说故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.增强主动学习的欲望。

【活动4】解释勾股定理内涵
（1）对比以前三角形三边关系（不等关系）？直角三角形三边关系是等量关系，而且是一种平方的等量关系。
（2）关系a代表什么？b代表什么？c代表什么？
（3）这种特殊的关系在什么三角形内成立？对其他三角形三边成立吗？
（4）a2+b2=c2这一形式还可以做怎么样的变形？

教师应关注
（1）学生对勾股定理的应用范围；
（2）是否只是记住了a2+b2=c2这个形式，能否解释a、b、c的意义；
（3）能否拓展勾股定理形式，灵和运用。

通过对勾股定理结论的进一步诠释，使学生认清勾股定理的本质特点，为学生解决数学问题和实际问题打下基础。
【活动5】牛刀小试
（试一试）求出下列直角三角形中未知边的长度.

学生独立计算，教师巡视，及时解决学生中的问题。最后教师让学生公布答案。

初步让学生了解利用勾股定理计算线段长度

【活动5】例题精讲，运用实践
如图。池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60cm，AC=20m，你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）

教师要关注：
1、 能否说明它是一个直角三角形；
2、 能否由直角三角形想到三边关系；
3、 直角三角形的三边关系运用是否正确；
4、学生是否能正确建模。

通过实际问题的设计，让学生理解勾股定理在实际生活中的广泛运用价值以及灵和运用解决问题。
【活动6】课堂小结：
1、你对直角三角形的有什么新的认识？

2、直角三角形三边关系具体讲是什么关系？它有什么作用？

作业布置：P70习题2、3、4
1、 教师鼓励学生自己说出自己的认识，看看学生是否能将新旧知识进行融合；
2、 对勾股定理的理解是否实现了我的教学目标；

3、作业全是基础的问题，要求学生独立思考完成。
通过小结让学生总结直角三角形的相关知识，达到对知识的螺旋上升的作用；作业则是对勾股定理基本的运用，达到巩固的作用。