第八章：平面解析几何.doc

五年高考真题分类汇编：平面解析几何
一、填空题
1．（2013·湖南高考理）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos 30°，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故双曲线C的离心率为.
【答案】
2．（2013·福建高考理）椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
【解析】本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
【答案】－1
3．（2013·辽宁高考理）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求解．求解此题的关键是能够巧妙地应用过原点的直线与椭圆的两个交点关于原点对称来确定a值，试题也侧重考查了逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
【答案】
4．（2013·安徽高考理）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力．
法一：设直线y＝a与y轴交于点M，抛物线y＝x2上要存在C点，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有交点即可，也就是使|AM|≤|MO|，即≤a(a>0)，所以a≥1.
法二：易知a>0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，则AC―→＝(m－，m2－a)，BC―→＝(m＋，m2－a)，因为AC―→⊥BC―→，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0.因为由题易知m2≠a，所以m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．
【答案】[1，＋∞)
5．（2013·浙江高考理）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
【解析】本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力．
法一：注意到|FQ|＝2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1，±2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为±1.
法二：令直线l的方程为x＝ty－1，由得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，x1＋x2＝4t2－2，所以xQ＝2t2－1，yQ＝2t，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y＝4，代入解得，t＝±1或t＝0(舍去)，即直线l的斜率为±1.
【答案】±1
6．（2013·陕西高考理）双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
【解析】本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用．
⇒＝⇒m＝9.
【答案】9
7．（2013·江西高考理）抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
【解析】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力．由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，所以|AB|＝ ，则|AF|＝|AB|＝ ，所以＝sin ，即＝，解得p＝6.
【答案】6
8．（2013·北京高考文）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
【解析】本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．
因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
【答案】2　x＝－1
9．（2013·江苏高考文）双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
【解析】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的运算能力．
令－＝0，解得y＝±x.
【答案】y＝±x
10．（2013·江苏高考文）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2=d1，则椭圆C的离心率为________．
【解析】本题考查椭圆的基本概念及性质，意在考查学生的推理能力及运算能力．
令F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为＋＝1，所以d1＝ .
又d2＝－c＝，由d2＝d1，可得＝·，解得b2＝2c2，所以a2＝3c2，a＝c，所以e＝＝.
【答案】
117．（2013·山东高考文）过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力．最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.
【答案】2
118．（2013·福建高考文）椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
【解析】本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝
c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
【答案】－1
119．（2013·湖南高考文）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
【解析】本题主要考查双曲线的离心率和解直角三角形，并结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化处理能力和运算能力．由已知可得，|PF1|＝2ccos 30°＝c，|PF2|＝
2csin 30°＝c，由双曲线的定义，可得c－c＝2a，则e＝＝＝＋1.
【答案】＋1
120．（2013·浙江高考文）直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的弦长求法等基础知识，意在考查考生的解析几何思想，以及对基础知识的掌握程度．已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，圆心到直线y＝2x＋3的距离为d＝＝，所以弦长l＝2＝4.
【答案】4
121．（2013·天津高考文）已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质，意在考查考生的运算求解能力．抛物线y2＝8x的准线x＝－2过双曲线的一个焦点，所以c＝2，又离心率为2，所以a＝1，b＝＝，所以该双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】x2－＝1
122．（2013·湖北高考文）已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系．直线l：xcos θ＋ysin θ＝1是单位圆x2＋y2＝1在第一象限部分的切线，圆O：x2＋y2＝5的圆心到直线l的距离为1，故过原点O与l平行的直线l1与圆O的2个交点到直线l的距离为1，l1关于l对称的直线l2与圆O也有2个交点，共4个．
【答案】4
123．（2013·陕西高考文）双曲线－＝1的离心率为________．
【解析】本题主要考查双曲线的几何量之间的关系．由几何量之间的关系，得a2＝16，b2＝9，∴e2＝，e＝.
【答案】
124．（2013·江西高考文）若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
【解析】本题主要考查圆的方程及待定系数法，考查方程思想及运算求解能力．因为圆过原点，所以可设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.因为圆过点(4,0)，将点(4,0)代入圆的方程得D＝－4，即圆的方程为x2＋y2－4x＋Ey＝0.又圆与直线y＝1相切，将其代入圆的方程得x2＋1－4x＋E＝0，又方程只有一个解，所以Δ＝42－4(1＋E)＝0，解得E＝3.故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋3y＝0，即(x－2)2＋2＝.
【答案】(x－2)2＋2＝
125．（2013·四川高考文）在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
【解析】本题主要考查几何最值问题，从几何方法入手，用代数手段解决，意在考查考生对解析几何和平面几何的结合与转化的能力．取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：
假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，
而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．易求得P(2,4)．
【答案】(2,4)
126．（2013·辽宁高考文）已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
【解析】本题主要考查双曲线的定义，双曲线的几何性质，双曲线方程，意在考查考生综合运用圆锥曲线知识解决问题的能力．由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.
【答案】44
127．（2013·重庆高考理）过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
【解析】设过抛物线焦点的直线为y＝k(x－)，联立得整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.
|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，
代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得12x2－13x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，
故|AF|＝x1＋＝.
【答案】
128．（2012·广东高考理）曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
【解析】曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
【答案】y＝2x＋1
129．（2012·江西高考理）椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______________．
【解析】依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝＝.
【答案】
130．（2012·四川高考理）椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
【解析】法一：依题意得知，点F(－1,0)，不妨设点A(2cos θ，sin θ)(sin θ>0)，则有B(2cos θ，－sin θ)，|FA|＝|FB|＝＝2＋cos θ，|AB|＝2sin θ，|FA|＋|FB|＋|AB|＝4＋2cos θ＋2sin θ＝4＋4sin(θ＋)，当θ＋＝2kπ＋，k∈Z，即θ＝2kπ＋，k∈Z，2cos θ＝1，sin θ＝时，△FAB的周长最大，此时△FAB的面积等于×(1＋1)×3＝3.
法二：

椭圆右焦点为F′(1,0)．
由椭圆定义|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
则△FAB的周长l＝|AF|＋|BF|＋|AB|
＝4a－(|F′A|＋|F′B|)＋|AB|
＝4a－||F′A|＋|F′B|－|AB||≤4a
∴△FAB周长最大时，直线x＝m经过F′(1,0)这时|AB|＝3，　
此时S△FAB＝×2×3＝3.
【答案】3
131．（2012·湖南高考理）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
【解析】曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为(，0)，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－)．
【答案】
132．（2012·辽宁高考理）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
【解析】易知抛物线y＝x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.
【答案】－4
133．（2012·北京高考理）直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
【解析】直线的普通方程为x＋y－1＝0，圆的普通方程为x2＋y2＝32，圆心到直线的距离d＝＜3，故直线与圆的交点个数是2.
【答案】2
134．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
【解析】直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
【答案】
135．（2012·天津高考理）已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.　
【解析】由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点F(，0)，准线x＝－，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
【答案】2
136. （2012·陕西高考理）

右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．
【解析】以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2.
【答案】2
137.（2012·江苏高考理）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【解析】由题意得m＞0，∴a＝，b＝，∴c＝，由e＝＝得＝5，解得m＝2.
【答案】2
138．（2012·江苏高考理）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
【解析】设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
【答案】
139．（2012·湖北高考理）如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则

(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
【解析】由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
设sin θ＝，cos θ＝，
＝＝＝＝e2－＝.
【答案】　
140．（2012·浙江高考文）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.
【解析】因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a>x，∴x2＋a－x>0.
设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.　
【答案】
141．（2012·四川高考文）椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
【解析】依题意得，点F(－，0)，
不妨设点A(acos θ，－sin θ)，
|FA|＝|FB|＝＝a＋cos θ，|AB|＝2sin θ，
|FA|＋|FB|＋|AB|＝2a＋2cos θ＋2sin θ的最大值是2a＋ ＝4a＝12，即a＝3，因此该椭圆的离心率是.
【答案】
142．（2012·天津高考文）设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，所以|mn|≤，又A(，0)，B(0，)，所以△AOB的面积为≥3，最小值为3.
【答案】3
143．（2012·湖南高考文）在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
解析：本题主要考查直线的参数方程与两直线平行的概念，意在考查考生的转化处理能力．把直线的参数方程转化为普通方程，得l1：x－2y－1＝0，l2：x－y－＝0，由两直线平行，可得1×－1×(－2)＝0，且1×－1×(－1)≠0，即a＝4.
答案：4
144．（2012·辽宁高考文）已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.
【答案】2
145．（2012·天津高考文）已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________b＝________.
【解析】双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.
【答案】1　2
146.（2012·江苏高考文）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【解析】由题意得m>0，∴a＝，b＝，∴c＝，由e＝＝得＝5，解得m＝2.
【答案】2
147．（2012·江苏高考文）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
【解析】设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
【答案】
148．（2012·安徽高考文）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
【解析】抛物线y2＝4x准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2(x－1)，代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故|BF|＝.
【答案】
149．（2012·北京高考文）直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
【解析】圆心(0,2)到直线y＝x的距离为d＝＝，圆的半径为2，所以所求弦长为2＝2.
【答案】2
150．（2012·重庆高考文）设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.
【解析】由PF1⊥x轴且P点在双曲线的左支上，可得P(－c，－)．又因为点P在直线y＝x上，所以－＝×(－c)，整理得c＝3b，根据c2＝a2＋b2得a＝2 b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
【答案】
151．（2011·新课标高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为____．
【解析】根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
【答案】＋＝1
152．（2011·大纲卷高考）已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝____.
【解析】依题意得知，点F1(－6,0)，F2(6,0)，|F1M|＝8，|F2M|＝4.由三角形的内角平分线定理得＝＝2，|F1A|＝2|F2A|；又点A在双曲线上，因此有|F1A|－|F2A|＝2×3＝6,2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝6.
【答案】6
153．（2011·北京高考）曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是____．
【解析】因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．
【答案】②③
154．（2011·江西高考）若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是____．
【解析】由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A(，)，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.
【答案】＋＝1
155．（2011·四川高考）双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是__________．
【解析】由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4<a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由双曲线第一定义，可知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d＝16.
【答案】16
156．（2011·重庆高考）设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为____．
【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝
(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝－1.
【答案】－1
157．（2011·天津高考）已知抛物线C的参数方程为，(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
【解析】将抛物线C的参数方程化为普通方程得y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，又该直线与圆相切，所以圆心(4,0)到该直线的距离等于圆的半径，即r＝＝.
【答案】
158．（2011·浙江高考）设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A―→＝5F2B―→，则点A的坐标是________．
【解析】根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－，0)，(，0)，可得F1A―→＝(m＋，n)，F2B―→＝(c－，d)．∵F1A―→＝5F2B―→，∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋d2＝1，＋()2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．
【答案】(0，±1)
159．（2011·辽宁高考）已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
【解析】根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2.
【答案】2
160.（2010·全国卷2高考理）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．
【解析】过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，∴M为抛物线的焦点，
∴2.
【答案】2
161.（2009·重庆高考文）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
.解：法一：因为在中，由正弦定理得，
则由已知，得，即.
设点由焦点半径公式，得则.
记得，由椭圆的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率.
法二： 由法一知由椭圆的定义知
，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.
【答案】
162.（2009·江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .

【解析】 直线的方程为：；
直线的方程为：.二者联立解得：，
则在椭圆上，
， 解得.
【答案】
二、解答题
163．（2013·湖南高考理）过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0，k2>0，证明：FM―→·FN―→<2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
解：本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何意义，圆的方程及两圆的公共弦的求法，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的位置关系，向量的数量积，基本不等式的应用，二次函数的最值的求法，考查运算求解能力和函数方程思想、转化化归思想和数形结合思想．属难题．
(1)由题意，抛物线E的焦点为F，
直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，FM―→＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为，FN―→＝(pk2，pk)．
于是FM―→·FN―→＝p2(k1k2＋kk)．
由题设，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以0<k1k2<2＝1.
故FM―→·FN―→<p2(1＋12)＝2p2.
(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋，
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.
故圆M的方程为
(x－pk1)2＋2＝(pk＋p)2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.
同理可得圆N的方程为
x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
因为p>0，所以点M到直线l的距离
d＝＝＝.
故当k1＝－时，d取最小值.由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
164．（2013·福建高考理）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．

(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；
(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．
解：本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．
法一：(1)依题意，过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
设Pi的坐标为(x，y)，由
得y＝x2，即x2＝10y.
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.
由得x2－10kx－100＝0，
此时Δ＝100k2＋400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.
又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，
分别代入①和②，得解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.
法二：(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E：x2＝10y上．
证明如下：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
由解得Pi的坐标为.
因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)同法一．
165. （2013·辽宁高考理）如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题以及求解轨迹方程等问题，考查了考生的逻辑思维能力和归纳推理能力．
(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为
y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋.⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此线段AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
166．（2013·安徽高考理）设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
解：本题考查椭圆方程和椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识和运算求解能力，意在考查推理论证能力以及数形结合思想，对数式变形能力要求较高．
(1)因为焦距为1，且焦点在x轴上，所以2a2－1＝，解得a2＝.