异面直线所成的角(教师版).doc

广东北江中学高二数学补充讲义：立体几何
基础过关
异面直线所成的角（教师版）

求两条异面直线所成角的步骤：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
答案：
(1)找出或作出有关角的图形；
(2)证明它符合定义；
(3)求角．
一．例题与课堂练习
题1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1
∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。

题2．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
B
M
A
N
C
S
且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝
∴COS∠QNB＝
题3．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．
答案：45°

题4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，A
C
B
N
M
A1
C1
B1

若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．
解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，
易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1M＝，
cos∠GNA＝。

题5．如图，在正方体中，
E、F分别是、CD的中点．
求与所成的角。
证明：取AB中点G，连结A1G，FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。
B¢
(图1－28)
A¢
A
B
C¢
D¢
C
D
F
E

题6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点
 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?
 (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；
 (3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；
 (4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值
解：(1)
∵ A¢Ï平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BÏCC′,
 ∴ 直线BA′与CC′是异面直线
 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′
成异面直线
 (2)∵ CC′∥BB′，
∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角
∵ ∠A′BB′=45°
∴ BA′和CC′所成的角是45°
 (3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角
在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是
 (4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝(∥)A¢B¢＝(∥)AB,
 ∴ ABFE是平行四边形，从而BF＝(∥)AE, 即BF∥AE且BF=AE.
 ∴ BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角
A¢
B
F
M
(图1－29)

设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为
A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得：
cos∠A′BF＝
【说明】(1)如图1—29，单独画出△A¢BF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法；
 (2)解法中用余弦定理求cos∠A¢BF,其实有更简单方法，请找出简单方法
 (3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案?
异面直线所成的角的作业
班级： 姓名： 学号：
一． 判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形；
 (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行；
 (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面；
 (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；
 (9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线；
 (11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面
案案：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；

二． 选择题
1.没有公共点的两条直线的位置关系是( )
 (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定
 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )
 (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交
 3.两条异面直线指的是( )
 (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线
 4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( )
 (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面
B1
(第6题)
A1
A
B
C1
D1
C
D
5.说出正方体中各对线段的位置关系：
(1) AB和CC1； (2)A1C和BD1； (3)A1A和CB1；
 (4)A1C1和CB1； (5)A1B1和DC； (6)BD1和DC.

答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；
(第7题)
F1
A
B
C
D1
C1
A1
B1
B1
(第6题)
A1
A
B
C1
D1
C
D
M
N
6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )

答案：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；
7.如图，A1B1C1—ABC是直
三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1
分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则
BD1与AF1所成角的余弦值是( )

答案：(A)，延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．
8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC
 (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直
9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
 ①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；
②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；
④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面
在上述四个命题中，真命题的个数是( )
 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0
 10.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线
 (A)不一定存在 (B)总共只有一条
F
A
B
C
E
S
(第11题)
 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条
 11.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果
E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
答案：8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；
(第五题)
M
A
B
C
N
C1
A1
B1
A
B
C
D
M
(第三题)
N
4
3
三．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值
A
B
C
D
(第四题)
E
6
6
8

8
A
B
C
D
E
(第六题)
7
8
5
4
4
5
四.如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值
 五.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，
M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与CC1所成角的余弦值。
 六.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，
若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，
求BE与CD所成角的余弦值。
答案；三．，取AD中点E，则∠MEN＝90°；
四．，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝AD＝5，BF＝AC＝3；
五．，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1＝MQ＝a，则MP＝a；
六．，取AC中点F，连EF、BF，则EF＝4，BE＝BF＝3．
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