综合训练（五.doc

综合训练（五）必修5
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.　B.C. D.
答案　D
2．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为(　　)
A．9 B．1 C．2 D．3
答案　D
3．设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为(　　)
A．[0,3] B．[－3,3] C．[－3,0] D．[1,3]
答案　B
4．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)
A．－110 B．－90 C．90 D．110
答案　D
5．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)
A. m B. m C. m D. m
答案　A
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝S5，且a9＝20，则S11＝(　　)
A．260 B．220 C．130 D．110
答案　D
7．等比数列{an}中，其前n项和为Sn＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝
(　　)
A.(3n－1) B．3n－1 C.(9n－1) D．9n－1
答案　C
8．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪[1，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪[1，＋∞)
答案　B
9．设函数f(x)满足f(n＋1)＝(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝(　　)
A．95 B．97 C．105 D．192
答案　B
10．数列{an}是等比数列且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
答案　A
11．(2012·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(　　)
A. B．－ C．± D.
答案　A
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若b＝，则a＋c的最大值为(　　)
A. B．3 C．2 D．9
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．
答案　或
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时n等于________．
答案　6
15．不等式4x＋a·2x＋1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
答案　[－2，＋∞)
16．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)
答案　③
三、解答题
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝(2cos，sin)，n＝(cos，－2sin)，m·n＝－1.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
答案　(1)－　(2)2
解析　(1)∵m＝(2cos，sin)，n＝(cos，－2sin)，m·n＝－1，∴2cos2－2sin2＝－1，∴cosA＝－.
(2)由(1)知cosA＝－，且0<A<π，∴A＝.
∵a＝2，b＝2，
由正弦定理，得＝，即＝.
∴sinB＝.∵0<B<π，B<A，∴B＝.
∴C＝π－A－B＝，∴C＝B.∴c＝b＝2.

18．(本小题满分12分)
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．
答案　(1)bn＝·2n－1＝5·2n－3　(2)略
解析　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去)．
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.
(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，
即Sn＋＝5·2n－2.
所以S1＋＝，＝＝2.
因此{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列．
19．(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，·＝8，∠BAC＝θ，a＝4.
(1)求bc的最大值及θ的取值范围．
(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的最值．
答案　(1)16,0<θ<　(2)f(θ)min＝2　f(θ)max＝3
解析　(1)∵·＝8，∠BAC＝θ，∴bc·cosθ＝8.
又∵a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42，即b2＋c2＝32.
又b2＋c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16.
而bc＝，∴≤16.
∴cosθ≥.又0<θ<π，∴0<θ≤.
(2)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－
＝·[1－cos(＋2θ)]＋1＋cos2θ－
＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋)＋1.
∵0<θ≤，∴<2θ＋≤.
∴≤sin(2θ＋)≤1.
当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)min＝2×＋1＝2；
当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)max＝2×1＋1＝3.
20．解关于x的不等式：>1(a<1)．
答案　0<a<1时，{x|2<x<}；a＝0时，∅；a<0时，{x|<x<2}
解析　(x－2)[(a－1)x＋2－a]>0，
当a<1时有(x－2)(x－)<0，
若>2，即0<a<1时，解集为{x|2<x<}．
若＝2，即a＝0时，解集为∅.
若<2，即a<0时，解集为{x|<x<2}
21．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式>2 010的n的最小值．
答案　(1)略　(2)10
解析　(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得an＝2an－1＋1.
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．
因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.
a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.
所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1
＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
若>2 010，则>2 010，
即2n＋1>2 010.
由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.
所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.
22．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－(＋1)an(n∈N*)．
(1)求证：数列{}是等比数列；
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝＋＋＋…＋，试比较An与的大小．
答案　(1)略　(2)An<
解析　(1)证明：由a1＝S1＝2－3a1，得a1＝.
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，得＝×，所以{}是首项和公比均为的等比数列．
(2)由(1)得＝，于是2n·an＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
所以＝2(－)，于是An＝2(1－)＝.
而＝，所以问题转化为比较与的大小．
设f(n)＝，g(n)＝，
当n≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)<1，所以f(n)>g(n)．
经验证当n＝1,2,3时，仍有f(n)>g(n)．
因此对任意的正整数n，都有f(n)>g(n)，即An<.