等差等比数列常见结论总结（学生版）.doc

一、等差和等比数列部分

一、等差数列常见结论
1， 判断给定的数列是等差数列的方法
（1） 定义法：是常数数列是等差数列；
（2） 通项公式法：数列是等差数列；
（3） 前n项和法：数列的前n项和
数列是等差数列；
（4） 等差中项法：数列是等差数列；
2， 等差数列的通项公式的推广和公差的公式：
；
3， 若A是a与b的等差中项
4， 若数列，都是等差数列且项数相同，则都是等差数列；
5， 等差数列中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；
6， 等差数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；
7， 若数列是等差数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等差中项；
8， 若数列是等差数列的充要条件是前n项和公式，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即；
9， 若数列的前n项和，则数列从第二项起是等差数列；
10， 若数列是等差数列，前n项和为，则也是等差数列，其首项和的首项相同，公差是公差的；
11， 若数列，都是等差数列，其前n项和分别为，则；
12， 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为；
13， 等差数列的前n项和为，且分别为数列的前m项,2m项,3m项,4m项,……的和，则成等差数列（等差数列的片段和性质）；
14， 等差数列中，若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为，则；若项数n为偶数，；
15， 在等差数列中，若公差，则等差数列为递增数列；若公差，则等差数列为递减数列；若公差，则等差数列为常数列；
16， 有关等差数列的前n项和为的最值问题：
（1） 何时存在最大值和最小值
① 若，则前n项和为存在最大值
② 若，则前n项和为存在最小值
（2） 如何求最值
① 方法一：（任何数列都通用）通过解出n可求前n项和为的最大值；通过解出n可求前n项和为的最小值；
② 方法二：利用等差数列前n项和的表达式为关于n的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n项和不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：
若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n就取靠近对称轴的那个正整数；
③ 利用等差数列的相关性质求解
16，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”
二、 等比数列常见结论
1， 对等比数列定义的理解
（1） 是从第二项开始，每一项与前一项的比
（2） 每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0
（3） 等比数列中任何一项都不为0
（4） 符号语言的描述：若数列中满足（不为0的常数），则数列为等比数列；
2， 当且仅当两个数a和b同号是才存在等比中项，且等比中项为
3， 若成等比数列，则
4， 判断给定的数列是等比数列的方法
（1）定义法：（不为0的常数）数列为等比数列；
（2）中项法：数列为等比数列；
（3） 前n项和法：数列的前n项和（A是常数，）数列为等比数列；
5， 等比数列通项公式的推广：若为等比数列，则
6， 若数列是等比数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等比中项；
7， 等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；
8， 等比数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；
9， 若数列，都是等比数列且项数相同，则都是等比数列；
10， 若等比数列的公比为参数，则在求前n项和时应分两种情况讨论，即；当时
11， 若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为；
12， （等比数列的片段和性质）公比不为的等比数列前n项和为，则成等比数列；
13， 用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；
三、等差与等比数列
1， 若正项数列为等比数列，则数列为等差数列；
2， 若数列为等差数列，则数列为等比数列；
3， 任意两数都存在等差中项为，但不一定都存在等比中项，当且仅当同号时才存在等比中项为；
4， 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；

四、例题分析
1，如果等差数列中，，那么（ ）A，14 B，21 C，28 D，35
2，等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______
3，等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则 ______
4设是等差数列的前项和，且，则
5，已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（ ）A， B，7 C， 6 D，
6，已知数列是一个等差数列，且，。
（1） 求的通项；（2）求前n项和的最大值。

7，已知数列是等差数列，且首项，，求前n项和何时取最小值

8，已知等差数列前n项和为30，前n项和为100，则前3n项和为______

9，在等比数列中， ，则公比q的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

10，在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．
11 设等差数列的前项和为，若,则=
12设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = （ ）())) A, 2 B, C, D,3
13设为等比数列的前项和，，则（ ）
A，11 B，5 C， D，
14已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为（ ）
A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110
15在等差数列中，，则
五、反馈练习
1，在等差数列中，，则的值为（ ）
A，5 B，6 C，8 D，10
2，已知为等差数列，，则等于（ ）A， B，1 C， 3 D，7
3）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
4，已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）（
A，21 B，20 C，19 D，18
5，设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )A．13 B．35 C．49 D． 63
6，等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A．1 B C.- 2 D 3
7，在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于（ ） A．18 B 27 C 36 D 9
8，等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A．1 B C.- 2 D 3
9，已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（ ）A.－2 B.－ C. D.2
10，等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（　　　）
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
11，若等差数列的前5项和，且，则( )
A.12　　 　 　B.13　　　 　　C.14　　 　　 D.15
12，已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）A．64 B．100 C．110 D．120
13，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．16 B．24 C．36 D．48
14，已知是等比数列，，则=（ ） A.16（） B.6（）
C.（） D.（）
15，已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( ) A B.
C.　　　　　 D.
16，等差数列的前项和为若（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
17，设等差数列的前项和为，若，，则（　　）A．63 B．45 C．36 D．27
18，在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（　　）A． B． C． D．
19，设等差数列的前项和为，若则 .
20，设为等差数列的前项和，若，则 。
21， 设等差数列的前n项和为，若，则=______________．
22，已知数列满足，设数列的前项和的最大值为，则_____________．
23，设等差数列前n项和分别为，且对任意的自然数都有，则的值等于_____________．
24，在等比数列{}中，则=_____________．
25，已知等比数列{}中，前n项和为，则____________．
26，等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
27，已知等差数列的前项和为，若，则 ．
28，已知等差数列{}中，，则这个数列前n项和何时取最大值？

29已知等差数列{}中，求{}前n项和

30设a1，d为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，满足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及；（Ⅱ）求d的取值范围。

31已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式

32已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式。003033333
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