直线与平面垂直的判定定理.doc

直线与平面垂直的判定
长治学院附属太行中学 李丽
一．教材分析：
1. 在教材中的地位和作用：本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直的判定定理的基础；而线面垂直的判定定理则充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，也是连接线线垂直和面面垂直的纽带！学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。
2.教学目标：
知识与技能：①使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；②使学生掌握判定直线和平面垂直的方法，能够解决一些简单空间几何问题。
过程与方法: ①通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；②探究判定直线与平面垂直的方法，体会空间问题转化为平面平面数学的思想。

情感态度与价值观：①培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，感受线面垂直在解决实际问题中的作用；②培养学生几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。培养学生独立思考、合作交流的良好个性品质。
3.重点、难点：
重点是：直线与平面垂直的定义，判定定理内容的探究及其应用。
难点是：确认操作并概括出直线与平面垂直的判定定理内容及初步应用 。
二、教学方法：
采用“自主合作探究式”教学方法,教学过程中突出“主动”、“合作”两方面。
三、教学过程：
（一）、直线与平面垂直定义的建构
复习回顾：直线与平面的位置关系有哪几种？引出线面垂直是一种特殊的相交。
（1）情境导入—感知概念
1)展示图片：同学们观察图片，说出书脊与桌面、桥柱与水面、房柱与地面、旗杆与地面是什么关系位置？
2)请同学们举一些直线和平面垂直的例子。
问题引导：这些都给我们以直线与平面垂直的形象，那么如何定义直线和平面垂直呢
设计意图：线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，因此，在教学中，先安排学生课前收集大量图片进行感知，然后再通过多媒体课件演示，设计这样的问题情景贴近学生生活，为归纳出直线与平面垂直的概念作准备，使得学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识。
（2）归纳分析—形成概念
观察旗杆一天中的影子，并回答以下问题
问题1： ⑴旗杆所在直线和影子所在直线是什么位置关系?
(2)旗杆所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?
问题2 ：由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义。
设计意图：结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直。
（3）深入理解—掌握概念
线面垂直的定义: 如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。
问题3：（1）如果直线 l 和平面 α内的无数条直线垂直，则直线 l和平面 α互相垂直（ × ）
（2）b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b （√）
设计意图：通过两个问题的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。掌握线面垂直的一个性质。
(二)、直线与平面垂直的判定定理的探究
问题引导：除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？能不能像线面平行那样把线面垂直问题转化为线线垂直问题？
（1）通过实例—感知定理
问题4： 1）若一条直线垂直于一个平面内（1）三角形的两边；（2）梯形的两条边；（3）圆的两条直径。这条直线是否与平面垂直？你是如何判断的？
2)如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直,此直线是否和平面垂直？和一个平面内的两条直线垂直呢？和一个平面内的无数条直线垂直呢？
3)你认为保证直线与底面垂直的条件是什么？
设计意图：通过这组问题想让学生认识到判断直线与平面的垂直用定义很难做到所以我们有必要寻找更为简便可行的方法来判断直线与平面的垂直，于是就想到要减少直线的条数从而引出直线与平面的垂直判定定理的探索。
（2）动手操作—构建定理
折纸实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：
1）折痕AD与桌面垂直吗？
2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？若不过顶点A翻折纸片呢？
3）翻折前后垂直关系发生变化了吗？由此你能得到什么结论？

α

B
A
C
C
A
B

设计意图：由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。三角形纸片的折叠体现了有限与无限的相互转化，既有合情推理能力也有逻辑推理。
（3）深入理解—掌握定理
直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
问题5：和用线面垂直的定义证明线面垂直相比,你觉得判定定理的优越性体现在哪里?
(三)、直线与平面垂直判定定理及应用
（1）典例讲解：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

分析：此题有一定难度，引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，完善自己的解题步骤。

设计意图：让学生阅读课本，理解线面垂直判定定理的应用。
学生先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，；同时，展示了线面垂直的枢纽作用，进一步提高转化和综合运用知识能力。
（2）随堂练习：
1).若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个 D．—定不存在
2) . 已知在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC ⊥ BD。
3）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.

求证：PO⊥平面ABCD
4).如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA ⊥ AC, PA ⊥ AB,求证：（1）PA ⊥ BC ；（2）BC⊥平面PAC
四． 课时小结：
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？
（3）本节课学习过程中用到了哪些数学思想方法？
学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化（空间——>平面，无限——>有限，线面垂直——>线线垂直，垂直——>平行）、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，小组作好记录，以便查缺补漏。

五．课后作业：
（1）完成《问题导学案》相应部分，预习下一课时：直线和平面所成角。
（2）研究性学习：

（3） 小组合作探究：
如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

设计意图：通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯，使学生在知识、能力、情感三个维度得到提高。

六． 教学反思:
整个教学过程中，让学生动手探究，教师点拨，学生将在问题的带动下，进行更主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用。每个知识都应该由学生通过活动、探究、体验来获得，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神，使学生的学习达到“探索得资料，研究获本质”，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，体现了新课标的理念：“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”.
的确，“授之以鱼，不如授之以渔”。