直线与平面垂直的判定.doc

(完整word)直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义。2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题。知识点一直线与平面垂直定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面。它们惟一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？答定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直。知识点二直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言思考线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗?答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则是无关紧要的.知识点三直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面相交,但不和平面垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角;一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角取值范围0，90思考若直线l与平面所成的角是0角，则必然有l吗？答不一定.若直线l与平面所成的角是0角,则l或l。题型一直线和平面垂直的定义例1直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是（)A。l和平面平行 B。l和平面垂直C.l在平面内 D.不能确定答案D解析如图所示,直线l和平面平行，或直线l和平面垂直或直线l在平面内都有可能.故正确答案为D。跟踪训练1设l，m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是(）A.若lm，m，则lB。若l,lm，则mC。若l,m，则lmD.若l，m，则lm题型二线面垂直的判定例2如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点,过点A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC.证明PA平面ABC,PABC.又AB是O的直径，BCAC。而PAACA，BC平面PAC.又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC,AE平面PBC。跟踪训练2如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是棱AB，BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证：EF平面BB1O.证明ABCD为正方形，ACBO。又BB1平面ABCD,AC平面ABCD,ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC,EF平面BB1O.题型三直线与平面所成的角例3如图所示，已知正四面体ABCD的棱长a，E为AD的中点,连接CE。（1)求AD与平面BCD所成角的余弦值；（2）求CE与平面BCD所成角的正弦值。解（1）如图所示，过点A作AO底面BCD，垂足为点O，连接OB,OC，OD。则OB，OC，OD分别是AB，AC,AD在平面BCD上的射影。ADO为直线AD与平面BCD所成的角。又ABACAD,OBOCOD.O为BCD的外心.BCD为正三角形，点O为重心。又正四面体棱长为a，ODaa。cosADO，AD与平面BCD所成角的余弦值为.(2)取OD的中点F，连接EF，CF.E,F分别为DAO的边AD,OD的中点，EF为DAO的中位线。EFAO.又AO平面BCD，EF平面BCD。FC为EC在平面BCD上的射影。ECF为CE与平面BCD所成的角.在RtEFC中，EFAO。而AO a，EFa。E为AD的中点，CEADa.sinECF。CE与平面BCD所成角的正弦值为。跟踪训练3在正方体ABCDA1B1C1D1中,E，F分别是AA1，A1D1的中点.（1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值;（2)求EF与平面A1C1所成的角的大小。解（1）如图所示，连接DB.因为D1D平面AC，所以DB是D1B在平面AC内的射影。所以D1BD即为D1B与平面AC所成的角.在RtD1DB中，DBAB，D1BAB，所以cosD1BD。故D1B与平面AC所成的角的余弦值为.(2）因为E是A1A的中点,A1A平面A1C1，所以EFA1是EF与平面A1C1所成的角.在RtEA1F中，因为F是A1D1的中点，所以EFA145。故EF与平面A1C1所成的角的大小为45.分类讨论思想例4如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0），PA平面AC，且PA1，问：BC边上是否存在点Q，使得PQQD?并说明理由。分析由于矩形是变动的，在BC边上是否存在点Q，使得PQQD与a有关，故应对a进行分类讨论.解因为PA平面AC，QD平面AC，所以PAQD。又因为PQQD,PAPQP，所以QD平面PAQ。所以AQQD。当0a2时,由四边形ABCD是矩形,且AB1,知以AD为直径的圆与BC无交点，即对于BC上任一点Q，都有AQD90，此时BC边上不存在点Q，使PQQD；当a2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q,此时AQD90，所以BC边上存在一点Q,使PQQD；当a2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2），使PQQD.线面垂直例5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心,求证：OE平面ACD1。分析根据线面垂直的判定定理，要证明OE平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直即可。证明如图,连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1。设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,易证AECE.因为AOOC，所以OEAC.在正方体中易求出：D1Oa,OEa，D1Ea。因为D1O2OE2D1E2,所以D1OOE.因为D1OACO，D1O平面ACD1，AC平面ACD1。所以OE平面ACD1。1。正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为(）A.75 B.60 C.45 D。302。下列条件中，能判定直线l平面的是（)A。l与平面内的两条直线垂直B。l与平面内的无数条直线垂直C.l与平面内的某一条直线垂直D。l与平面内的任意一条直线垂直3.已知PA矩形ABCD，下列结论中，不正确的是（）A.PBBC B.PDCDC。PDBD D.PABD4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(）三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边。A. B. C。 D。5.矩形ABCD中,AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_.一、选择题1。已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面（）A.有且只有一个 B。至多一个C。有一个或无数个 D.不存在2.线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为（)A。30 B.45 C.60 D.1203.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（）A.垂直且相交 B。相交但不一定垂直C。垂直但不相交 D.不垂直也不相交4。如图所示，PA平面ABC,BCAC，则图中直角三角形的个数是(）A。4 B.3 C。2 D.15。如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H。那么，在四面体AEFH中必有（）A。HGAEF所在平面B。AGEFH所在平面C。HFAEF所在平面D。AHEFH所在平面6。如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A。 B. C. D.二、填空题7。在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时,有AB1BC1。(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)8。如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.9.已知ABC的三条边长分别是5，12，13,点P到A，B，C三点的距离都等于7,则点P到平面ABC的距离为_.10。如图所示，PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E,F分别是点A在PB,PC上的正投影，给出下列结论：AFPB;EFPB；AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是_.三、解答题11。如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足.(1）求证:AN平面PBM.(2）若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB。12。如图所示，在四棱锥PABCD中,AB平面PAD,ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DFAB,PH为PAD中AD边上的高.(1)证明：PH平面ABCD;(2）若PH1,AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；（3)证明：EF平面PAB.当堂检测答案1。答案C解析如图，连接AC,BD，两线相交于O,连接SO，则SBO就是侧棱与底面所成的角.易得OB。因为SB1，所以SO。所以SBO45。2。答案D解析根据线面垂直的定义可知，l垂直于内的所有直线时，l.3.答案C解析如图，由PA矩形ABCD，得BC平面PAB，DA平面PAB，DC平面PAD，AB平面PAD，则有PBBC，PDCD,PABD均正确,而PDBD错，故选C.4。答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直。5.答案30解析tanPCA,PCA30。课时精练答案一、选择题1.答案B解析若异面直线m、n垂直,则符合要求的平面有一个，否则不存在.2。答案C解析如图，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影,则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角.3。答案C解析取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，BD面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选C.4。答案A解析PA平面ABC,PAAC，PAAB，PABC.又BCAC，ACPAA，BC平面PAC，BCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.5.答案D解析ADDF，ABBE，AHHF，AHHE。又EHFHH，AH面EFH.6。答案D解析如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1，与B1D1交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，A1C1B1D1。又BB1平面A1B1C1D1,OC1平面A1B1C1D1，OC1BB1.而BB1B1D1B1,OC1平面BB1D1D.OB是BC1在平面BB1D1D内的射影。C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角.在正方形A1B1C1D1中，OC1A1C1.在矩形BB1C1C中，BC1.sinC1BO.二、填空题7。答案A1C1B1C1解析如图所示，连接B1C.由BCCC1，可得BC1B1C.因此，要得AB1BC1,则需BC1平面AB1C，即只需ACBC1即可.由直三棱柱可知，只要满足ACBC即可.而A1C1AC，B1C1BC，故只要满足A1C1B1C1即可。8.答案90解析B1C1平面ABB1A1,MN平面ABB1A1,B1C1MN.又MNB1M,B1MB1C1B1，MN平面C1B1M，MNC1M，即C1MN90。9.答案解析由点P到ABC三个顶点的距离相等可知，P在面ABC上的投影为ABC的外心.又ABC为直角三角形，其外心是斜边的中点，即P在面ABC上的投影是ABC斜边的中点D，如图。点P到平面ABC的距离为PD。10.答案解析PA平面ABC，BC平面ABC，PABC。又ACBC,PAACA，BC平面PAC,BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB。又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF。故正确。三、解答题11.证明（1）AB为O的直径，AMBM。又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM。又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM。（2)由（1）知AN平面PBM，PB平面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA,PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.12。(1）证明AB平面PAD,PH平面PAD，ABPH。又PHAD，ABADA，PH平面ABCD。（2）解PH平面ABCD，E为PB的中点，PH1,点E到平面ABCD的距离hPH.又ABCD，ABAD，ADCD,SBFCCFAD1,VEBCFSBCFh.(3)证明如图，取PA的中点G，连接GE,DG.DADP,DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，DG平面PAB.GEAB，GEAB，DFAB,DFAB,GEFD，GEFD,四边形DFEG为平行四边形，DGEF，EF平面PAB。16