第一轮复习复数的概念与运算.doc

上海交通大学附属中学浦东实验高中2015届第一轮复习
复数的概念与运算
知识点归纳：
1.复数的有关概念和性质：
(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，b∈R；
(2)可以从复数的实部、虚部出发定义实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模等概念；
(3)复数的相等：，那么；
(4)共轭复数的运算性质：
　　① ② 　③ ④.
　　 ⑤ ⑥ 　⑦若非零复数z为纯虚数⑧.
(5)复数z的模：|z|=，=；
复数模的运算性质：①；②；③；④
(6)复数与实数不同处
①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．
②在实数集内不是任何实数都可以开偶次方 ．复数对四则运算和开方均通行无阻．
2.有关计算，几个特殊结论：
（1）； ；； （）
　； ；2i ； - 2i
（2）如果,则 ；　； 1； 1； 0
3． 复数复习注意点：
　（1）证明复数是实数： ①；②； ③.
　（2）证明复数是纯虚数： i是纯虚数①且；②且z≠0；
③.
　（3）数的概念扩展到复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.

题型讲解：
例1． 下列命题中：
（1）两个虚数不能比较大小；
（2）若，则当且仅当时，为虚数；
（3）若，则；
（4）
（5）
（6）
（7）若，则；
（8）若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应。
（9）设，，，，则。
其中正确的命题的是
解：（2）可以为0（3）没有说明x，y是实数（4）z可能是虚数（5）左式为实数，右式可能为虚数（6）反例；（7）反例：；（8）0没有对应的纯虚数
（9）是正确的：由于，显然B为实数，为实数，于是A是实数，可以比较大小，该结论正确。 综上: (1)(9)＃

例2、实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12。
解：z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i
=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i.
∵m∈R,∴z的实部为m2+5m+6,虚部为m2－2m－15.
①要使z为实数，必有∴m=5或m=－3.
②要使z为虚数，必有m2－2m－15≠0,∴m≠5且m≠－3.
③要使z为纯虚数，必有即 ∴m=－2.
④要使z对应的点在第三象限，
必有 ∴－3<m<－2.
⑤要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m2+5m+6,m2－2m－15)满足方程x+y+4=0，
∴(m2+5m+6)+(m2－2m－15)+4=0. 解得m=－或m=1.
⑥要使z的共轭复数的虚部为12，则－(m2－2m－15)=12, ∴m=－1或m=3. ＃

例3、（1）复数与 是共轭复数，求实数的值．
(2) 已知z=1+i，如果=1－i, 求实数a、b的值.
（3），求复数
（4）已知，求实数．
解：（1）实部相等，虚部互为相反数，可求出m=1；＃
(2)方法一: 由z=1+i,有==(a+2)－(a+b)i.
由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i.根据复数相等的定义，得 解得
方法二：若进行除法计算较麻烦，可将已知等式变形为z2+az+b=(1－i)(z2－z+1),这样就避免了除法运算，相对来说要简单些.
∵(z2－z+1)(1－i)=［(1+i)2－(1+i)+1］(1－i)=i(1－i)=1+i，
又z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(a+2)i,
由题设及复数相等的定义，得 ∴＃
（3）＃
（4）注意观察到，左边分母对应复数的模的平方恰好为分子，于是，右边等于，求得：或＃
例4．（1）求的平方根；
（2）已知求的值
解：（1）；＃ （2）解同一；或者
＃
例5、计算下列各式的值（1）
（2）
（3）　　　
（4），求 的值．
解：（1）；＃
（2）。＃
（3）；＃
（4） ＃
例6、（1）求最小正整数n，使是纯虚数，并求出这个纯虚数。
（2）已知，求最小正整数n。
解：（1），若为纯虚数，则，k为整数。取k=1最小正整数为3。或者，n=1，2，3代入验证，反正求最小。＃
（2）原式化为，
两边同除并整理可得：。分析知最小n=3。＃
例7、（1）设z是虚数，是实数，，求证：u为纯虚数.
（2）设z1,z2为两个非零复数，且｜z1+z2｜=|z1－z2|，求证：为负数.
（1）证明：∵∈R，∴，∴
∴，∵z是纯虚数，∴，∴|z|＝1，∴
∵.∴.∵z是虚数，∴，∴，
∴u为纯虚数（或者设，再证明）. ＃
（2）证法一：，于是，由不等于0，于是，所以是纯虚数，为负数.。

证法二：｜z1+z2｜=|z1－z2|两边同除∣z2∣，可得：，设，
可得出（代入计算，或利用几何意义）。由于不等于0，于是b不为0，接下同上。＃
★[注] 本题（1）中利用或这个结论去做也可以，显然。这类结论非常重要，如。
（3）已知复数满足且为实数，求。
解：为实数，即 是实数，故z是实数，或者。最终解得实数＃
（4） 已知，，，求的值。
解：由题意可得，又，故知复数u对应的点是以原点为圆心、半径长为的圆和以A（-1，0）为圆心、半径长为的圆的交点，设，则 ＃
★[注] 上述解法是本类题的常用解法，本题还可考虑利用复数模的几何意义求解，于是有：
解法2：如下图，，，，故只需求出，设，，在中，由余弦定理得
，
＃

例8、设是虚数，是实数，.
（1）求及的取值范围；
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值.
解：（1）设且，
，
∵， ∴，
∵，∴. 则，∵，∴.＃
（2）∵，且，
∴， ∴是纯虚数. ＃
（3），
当且仅当时，.＃

巩固练习 班级_______________姓名___________________
1.计算：① = ；② = .
2.复数的共轭复数是 .
3.已知是实数，是纯虚数且满足，则 ； .

4.复数满足条件，则实数的取值范围是 .
5.若，则 = .
6.若，则下列结论中正确的是 .
① ；② ；③ ；④若，则.
7.设，下列命题中假命题的是 .
① ； ② 若，则；
③ ； ④ 若， 则.
8、已知为复数，为纯虚数，，且，则=____________.

9、满足的最小正整数的值为 .

10、已知两个复数，数列的通项公式为，且前项的和为，则项数的值为 .
二、选择题
11、是为纯虚数的……………………………………………………………（ ）
A.充分而非必要条件 B.必要而非充要条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
12、复数在复平面内对应的点位于………( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限。
13、已知,集合B,则集合B中 ( )
(A) 有复数30个 (B) 有实数5个 (C) 有纯虚数5个 (D) 虚数不足30个。
14、集合A，B=（z1可以等于z2）从集合B中任意取一元素，则该元素的模为的概率是…………… （ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D）。
三、解答题
15、(1)求满足条件的z ：；（2）求复数，使，且.

16、 已知复数, ,， 若, 求实数 a的取值范围。

17、设z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai(a∈R)，若z1z2≠0，z1z2+ =0，问在（0，2π）内是否存在θ使(z1-z2)2为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

一、1、①； ② ； 2、； 3、； 4、； 5、 1； 6、②③； 7、④； 8、； 9、4； 10、7。
二、11、B； 12、C； 13、C； 14、D。
三、15、（1）或. （2）解：，，（）
化简得：，即， 当，得；
当且，得. 综上所述：，.
16、解： ， ，
，
， ，
当且仅当时， 即时， 。

17、假设满足条件的θ存在．
因z1z2≠0，z1z2+ =0，故z1z2为纯虚数．
又 z1z2 = (1-cosθ+isinθ)( a2+ai)
=[a2(1-cosθ)-asinθ]+[a(1-cosθ)+a2sinθ]i，
于是，
由②知a≠0．
因θ∈(0，2π)，故cosθ≠1．于是，由①得 a= ．
另一方面，因(z1-z2)2∈R，又z1-z2=1-cosθ-a2+(sinθ-a)i故z1-z2为实数于是sinθ-a=0，
或为纯虚数．，1-cosθ-a2=0且a≠sinθ
①（实数）若sinθ-a=0，则由方程组得 = sinθ，故cosθ=0，则θ= 或θ= ．
②（纯虚数）若1-cosθ-a2=0，且a≠sinθ则由方程组
得()2 = 1-cosθ．
由于sin2θ=1-cos2θ= (1+cosθ)(1-cosθ)，故1+cosθ = (1-cosθ)2．解得cosθ=0(舍，否则a=sinθ)．
综上所述，在(0，2π)内，存在θ= 或θ= ，使(z1-z2)2为实数．
复数 第1讲 复数的概念与运算 勤奋创造未来 第 8 页 共 8 页