定点、定值问题.doc

定点、定值问题

1、已知椭圆的左、右焦点
分别是、，动直线与
椭圆交于两点。当时，是椭圆
的上顶点，且的周长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

2、已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最近距离为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线与于点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试探求以为直径的圆是否恒经过轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。
3、在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右、顶点为，右焦点为。设过点的直线与椭圆分别交于点，，其中，，。
（Ⅰ）设动点满足，求点的轨迹；
（Ⅱ）设，，求点的坐标；
（Ⅲ）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）。

2、解：
（Ⅰ）由题意得
.
椭圆的方程为： ……………………………………………………4分
（Ⅱ）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为,,，.
在椭圆上，所以，，
设，则，.
，又.
.……………………………………………………………8分
因为的中点为，,所以，以为直径的圆的方程为：.
令，得，
，将两点代入检验恒成立.
所以，以为直径的圆恒过轴上的定点…………………………12分