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递推数列分类
类型1：渗透三角函数周期性
数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。
例1（2008年湖南卷，18，满分12分）
数列{an}满足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求数列{an}的通项公式；

本题分为两种情况，采取非常规的递推数列求通项的方法，利用三角函数的诱导公式寻找递推关系，体现三角函数的周期性，进而求出该数列的通项为一分段数列。
例2（2009年江西，文，21，满分12分）数列{an}的通项，其前n项和为
（1）求sn；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn

例3（2009年江西，理8，5分）
数列{an}的通项，其前n项和为sn，则sn为（ ）
A．470 B．490 C．495 D．510
类型2：an+1=an+f(n)
解法思路：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解
例4（2008，江西，理5）
在数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln,则an=
A．2+lnn B．2+(n-1) lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn
例5（2009，全国I，理22）在数列{an}中，a1=1,an+1=
（1）设，求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和。

类型3：an+1=f(n)an
解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解
例6（2004，全国I，理15）
已知数列{an}，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an=_____
解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1+nan，用此式减去已知式，得
当n≥2时，an+1－an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1

类型4：an+1=pan+q（其中p、q均为常数，且pq(p－1)≠0）
解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1－t=p(an－t)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项迭代法求解。
例7（2008年，安徽，文21）设数列{an}满足a1 =a,an +1=c an +1－c,n∈N*，其中a、c为实数，且c≠0求数列{an}的通项公式；
解：方法一：因为an+1－1=c(an－1)
所以当a≠1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比数列所以an－1=( an－1)cn－1
即an=( an－1)cn－1+1当n=1时，an=1仍满足上式
数列{an}的通项公式为an=( a－1)cn－1+1 (n∈N*)
方法二：由题设得：n≥2时, an－1=c( an－1－1)=c2 (an－2－1)=…= cn－1(an－1)= (a－1)c n－1
所以an=( a－1)=c n－1+1n=1时，a1=a也满足上式所以{an}的通项公式为an=( a－1)cn－1+1 (n∈N*)
类型4的变式：an+1=pan+f(n)
解法思路：通过构造新数列{bn}，消去f(n)带来的差异，例如下面的
类型5 ：an+1=pan+qn（其中p、q均为常数，pq(p－1)(q－1)≠0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数）
解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列{bn}（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列
例8（2006，全国I22，12分）设数列{an}的前n项的和
求首项a1与通项an。

例9（2009，全国II，理19）设数列{an}的前n项的和
（1）设，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式。

类型6：（其中p，q均为常熟）。
解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为，
其中s, t满足
解法二（特征根法）：对于由递推公式,=,=给出的数列{an}，方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列{an}的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。
例10（2006，福建，文22）
已知数列{an}满足=1,=3，（）。
（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足（），证明{bn}是等差数列。
解：（1），=1,=3，
（），是以=2为首项，2为公比的等比数列。
（2）（），an =+ + + += + ++2+1=-1（）
类型7 递推公式为Sn与的关系式（或Sn）
解法思路：这种类型一般利用=或=消去进行求解。
例11.（2009，湖北19）
已知数列{an}的前项和Sn= --+2（为正整数），令=，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式
解：在Sn= +2中，令n=1，可得S1 = -+1=，
当时，Sn-1= +2，=SnSn-1=+
2=+，即=+1又=，=+1，即当时，-=1
又=2=1数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列，于是=n=,=.
例12 （2008，全国II20）设数列{an}的前n项和为Sn，已知=,=Sn+（）,
（Ⅰ）设=-，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若≥（），求的取值范围。
解（Ⅰ）依题意-==+，即=2+，由此得-=2（-），
因此，所求通项公式为=-=（-3），（）。（Ⅱ）由（Ⅰ）知=+（-3），（），于是当时，
=-=+（a-3）--（a-3）=2×+(a-3)
=4×+(a-3) =,当时,
≥0
≥9。又=+3＞综上，所求的的取值范围是。
类型8 an+1=pan+an+b(p≠1,a≠0)
解法思路：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，
即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比p为的等比数列。例13.（2006山东，文，22）已知数列{an}中，=，点在直线上，其中
（Ⅰ）令，求证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项。

所以{bn}是以为首项，以为公比的等比数列
类型9 （p＞0, ＞0）
解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例14（2005，江西，理，21）已知数列{an}的各项都是正数，且满足：求数列的{an}通项公式

例15（2006，山东22）已知，点在函数的图像上，其中证明数列是等比数列

类型10
解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分）
已知数列满足： 求数列的通项公式；
解：将条件变为：为一个等比例数，其首项为
从而据此得
类型11
解法思路：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且ph≠qr,r≠0, ），那么，可作特征方程，当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列；当特征议程有两价目相异的根x1、x2时，则是等比数列。
例19(2009年,江西,理,22)
各项均为正数的数列,且对满足的正整数都有m,n,p,q都有
(1)当时,求通项；
(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数n,都有
解：（1）由得
将代入上式化简得所以
故数列为等比数列，从而，即
可验证，满足题设条件。
（2）由题设的值仅与有关，记为
则考察函数，则在定义域上有
故对，注意到，解上式得
取，即有