【素材】《勾股定理的逆定理》用处多(人教版).doc

勾股定理的逆定理用处多
一、用于判断三角形的形状
例1 若△ABC的三边、、满足，试判断△ABC的形状？
分析：判断△ABC的形状一般从两方面考虑：一是从角的大小考虑；二是从边的关系考虑.而题目已知条件只提供了关于边的方程，可由该方程求出、、的特殊关系.
解：∵，
∴，
即.
∴，，，
∴.
又，
故由、、构成的三角形为直角三角形.
二、用于判断一个角是直角
例2 如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，试说明∠AEF＝90°.

分析：要说明∠AEF＝90°，只要说明△AEF为直角三角形.由勾股定理的逆定理，只要说明即可.
解：设正方形ABCD的边长为，则BE＝CE＝2，CF＝，DF＝3.
在Rt△ABE中，AE＝AB＋BE＝16＋4＝20，在Rt△ECF中，EF＝EC＋CF＝4＋＝5，在Rt△ADF中，AF＝AD＋DF＝16＋9＝25.
于是得AE＋EF＝AF，∴∠AEF＝90°.
三、用于求边长
例3 如图2，已知△ABC三边长为BC＝6，AC＝8，AB＝10，求BC边上的中线.

分析：要求中线AD的长，一般将AD放在直角三角形中，由于题目已知条件未说明某角为直角，只知道三角形的三边，可通过勾股定理的逆定理分析三边能否得到某个直角三角形.
解：∵AC＋BC＝＝100＝AB，
∴∠C＝90°.
又∵AD为中线，∴CD＝BC＝3，
则AD＝AC＋CD＝＝73，
∴AD＝.
四、用于求面积
例4 如图3，已知△ABC中，AC＝17cm，AB＝15cm，BC边上的中线AD＝4cm，求△ABC的面积.

分析：直接求△ABC的面积很困难，若延长AD至E点，使DE＝AD，连接BE，则可得到△ACD≌EBD，所以只需求出△ABE的面积，即是△ABC的面积.
解：延长AD至E点，使DE＝AD，则AE＝2AD＝8cm，连接BE.
∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，
∴△ACD≌EBD（SAS）
∴BE＝AC＝17 cm.
∵AE＋AB＝＝289＝AC，
∴△ABE为直角三角形，
∴S△ABC＝S△ABE＝AB×BE＝×15×8＝60cm.
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