基本不等式---用word做的复习课件.doc

高三数学复习　　　　　 海安县曲塘中学　 陈刚
基本不等式及应用
基本内容：
一．如果a,b是正数，那么
1．理解： (几何意义；代数解释)
2．变形与推广：(当且仅当)
课练2：若,则按从小到大顺序
ANSWER：
二．若已知都是正数， →理解
(1) 如果积是定值，那么当时，和有最小值
即积定和最小
(2) 如果和是定值，那么当时，积有最大值
即和定积最大
强调：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
②利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”
课练3：下列结论正确的是____________④⑤⑧
__
①当 ② ③ 解释：
④ ⑤ ⑥ 当时， 解释：
⑦若，则的最小值为2 ⑧若，则的最小值为9

课练4：若正数x、y满足，求的最小值
解：∵ ∴ ∴
分析

练习：《数学之友》练习册基础训练2、4
课练5：设,且满足,求的最大值

课练6：今有一台天平，两臂长不等，其余均精确，有人说用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘上各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？请说明你的结论。
解释：

1.在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。
解答：
2．若，，求的最大值
解答：

使用基本不等式要注意以下几点:
1. 一正、二定、三相等
2. 多次使用基本不等式一定要注意每次等号成立的条件必须一致。
3．有些问题不能使用基本不等式的可考虑函数的单调性
4．根据和(积)定合理拆项配组，正确应用基本不等式

解：设两数为x、y，即4x＋9y=60，
又= ≥，
当且仅当，且4x＋9y=60，即x=6且y=4时等号成立，
故应分别填6、4。
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解：∵ ∴
∴
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（2）若x、y∈R+且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值
若成等差数列，且，则的最大值为 ．
略解：， ，
由“基本不等式”有：，当且仅当时取等号，故，即的最大值为．
评析：倒序相加，由等差数列的性质为基本不等式的运用做好准备．
1．(06江苏卷8)设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A）　　　（B）
（C）　　　　　（D）
7. 若实数满足，则的最小值是 。 (01年全国春⑽题 5分)
（A）18 （B）6 （C） （D）
8. 若＞＞1，，则 。 (2000年全国卷 5分)
（A）R＜P＜Q （B）P＜Q＜R （C）Q＜P＜R （D）P＜R＜Q
1．（2006年安徽卷）设，已知命题；命题，则是成立的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1．解：命题是命题等号成立的条件，故选B。
2．（2006年陕西卷）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （B）
（Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）

(07山东理科16)函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则的最小值为 .
在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为 和 . 答案：9，12.

当x＞2时，使不等式x+ ≥a恒成立的实数a的取值范围是 （-∞，4]

函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__ 8 ．
已知则x,y之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D．不能确定

1、上海市部分重点中学高三第一次联考
如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？(14’)

解：设池塘的长为x米时占地总面积为S （1分）
故池塘的宽为米 （1分）
（3分）
故 （2分）
（2分）
（1分）
（3分）
答：每个池塘的长为米，宽为米时占地总面积最小。（1分）

23. 已知向量，，，，且与之间有关系式：，其中k＞0．
　　（1）试用k表示；　（2）求的最小值，并求此时与的夹角的值
（1）因为，所以，
，，
，． （2）由（1）
，当且仅当，即时取等号．此时，，，，所以的最小值为，此时与的夹角为

(1)基本不等式的几何意义(见必修五课本第90页的“思考”)
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C
作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
易得ＣD＝.而这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，
即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
(2)如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
课练1.已知为等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，试比较的大小
ANSWER：

推广：已知为等差数列，为等比数列，其公比，且若，，试比较的大小
(3)在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.
本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(该结论还可推广到n个正数，即n个正数的算术平均值不小于其几何平均值)
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(1)(，当且仅当)
(2)
形如可等同处理
即 (当且仅当时取“=”)
(3)
*(4)
*(5)
*(6)

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例1解：由题意以及，知
∵为的等差中项，则为的正等比中项
∴
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证明：∵ ∴
1°当 (定值)时， ∴
∵上式当时取“=” ∴当时有
2°当 (定值)时， ∴
∵上式当时取“=” ∴当时有
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例3.3
令 ∴ →该函数为增函数
∴当t=2时，y取最小值
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例3.6

(当且仅当时取最小值，此时也取最小值)
∴
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课练4
这种解法错误的原因在于两次运用基本不等式的时候取等号的条件不同：
第一次需，第二次需，故最后取不到等号
注意：多次使用基本不等式一定要注意每次等号成立的条件必须一致。
正解：∵正数x、y满足
∴
当且仅当时取等号
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天平问题解答：
不对。设左、右臂长分别为，物体放在左、右托盘称得重量分别为，真实重量为G，由杠杆平衡原理，有

两式相乘得：
∵ ∴
∴由知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均值
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课堂总结：
使用基本不等式要注意两点:
1. 一正、二定、三相等
2. 多次使用基本不等式要注意每次等号成立的条件必须一致。