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点到平面距离的若干典型求法
目录
1. 引言………………………………………………………………………………………1
2. 预备知识 ………………………………………………………………………………1
3. 求点到平面距离的若干求法 …………………………………………………………3
3.1 定义法求点到平面距离 ………………………………………………………3
3.2 转化法求点到平面距离 ………………………………………………………5
3.3 等体积法求点到平面距离 ……………………………………………………7
3.4 利用二面角求点到平面距离 …………………………………………………8
3.5 向量法求点到平面距离 ……………………………………………………… 9
3.6 最值法求点到平面距离 ………………………………………………………11
3.7 公式法求点到平面距离 ………………………………………………………13
1．引言
求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2．预备知识
(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点向平面引垂线，垂足为，则点叫做点在平面上的正射影，简称为射影。同时把线段叫作点与平面的垂线段。

图1
(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式

其中表示四面体体积，、分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面与平面所成的二面角，记作二面角，其中为二面角的棱。如图在棱上任取一点，过点分别在平面及平面上作的垂线、，则把平面角叫作二面角的平面角，的大小称为二面角的大小。在很多时候为了简便叙述，也把称作与平面所成的二面角。

图2
(7)空间向量内积:
代数定义: 设两个向量，，则将两个向量对应分量的乘积之和定义为向量与的内积，记作，依定义有=
几何定义: 在欧几里得空间中，将向量与的内积直观地定义为，这里、分别表示向量、的长度，表示两个向量之间的夹角。 向量内积的几何意义为一个向量的模与另一个向量在这个向量正方向上投影向量模的乘积。当，即时，。
下面说明这两种定义是等价的。
如图3所示，设、、为空间的三点，令，，

图3
由余弦定理
再设，，则
从而有
=
即

这就证得了两个定义是等价的。
3求点到平面距离的若干求法
3.1 定义法求点到平面距离(直接法)
定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:
(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体 棱长为，求点到平面的距离。(注:本文所有解法均使用本例)

图4
解法一(定义法):如图5所示，连结交于点，再连结，过点作垂直于，垂足为，下面证明平面。

图5
平面

又在正方形中，对角线，且
平面, 平面
由线面垂直的判定定理知道平面
平面

又由的作法知道，且有，
平面，平面
由线面垂直的判定定理知道平面
根据点到平面距离定义，的长度即为点到平面的距离，下面求的长度。
中，容易得到，从而为正三角形，。
进而在中，。
由得到

从而到平面的距离为。
3.2转化法求点到平面距离
有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。
转化法依据主要有以下两点：
(1)若直线平面，则直线上所有点到平面的距离均相等。
(2)若直线与平面交于点，则点、到平面的距离之比为。特别地，当为中点时，、到平面的距离相等。
下面用转化法重解上面例题
解法二(转化法)
如图6所示，连结、、、、，交于点，连结交于点，延长至点使得，连结。

图6
平面
从而斜线在平面的射影为
、为正方形对角线
，
由三垂线定理知道
同理可以得到
又，平面，平面
平面
平面，即点为在平面的射影，的长度为所求
即，且
四边形为平行四边形

在由等比性质有

而在正方体中对角线

在本例中，未直接计算垂线段的长度，而是找出了其与正方体中对角线的数量关系，从而转化为求正方体对角线长度，而长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。
3.3等体积法求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式求出点到平面的距离。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.
解法三(等体积法):如图7所示，作垂直于平面于点，则长度为所求。对于四面体，易见底面的高为，底面的高为。对四面体的体积而言有：

图7
即有:
也即:
由，从而为正三角形，，进而可求得

又易计算得到的面积为
所以
我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。
3.4利用二面角求点到平面距离
如图8所示，为二面角的的棱，为二面角的一个平面角。下面考虑点到平面的距离。作，垂足为，下面证明平面。

图8
为二面角的一个平面角
、
又
平面
又平面

又 ，，平面，平面
平面
在中，有
①
这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。
下面利用二面角法求解上面例子。
解法四(二面角法):如图9所示，连结、，与相交于点，连结。
与为正方形的对角线
（即），为中点

图9
又中

为二面角的平面角
设到平面的距离为，是过点的关于平面的一条斜线，又上面得到的公式 ①有

易见，平面，从而在中有

从而点到平面的距离为

3.5向量法求点到平面的距离
向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论: 点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接的向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。
证明:如图10所示，为平面外一点，为平面上任意一点，平面于点，为平面的单位法向量。

图10

即
②
这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。
下面用向量法从新求解上面例子
解法五(向量法) 如图11所示以点为原点，，，所在的正方向分别，，轴的正方向建立空间直角坐标系。

图11
由所给条件知道坐标点、，，，从而有，，。设平面的任意一个法向量为,则有，， 即

代入已知得到

这是一个关于的不定方程，为了方便起见，不妨设，这样上式变为

解该式得到
这样就得到平面的一个法向量为，将其单位化得到平面的一个单位法向量为。设点到平面的距离为，结合②式所给出的结论有

即点到平面的距离为。
用向量法求解点到平面的距离比之前面提供的几种几何方法而言，这种方法不需要大量的几何证明，而主要是较为机械地进行代数运算。因而在实际使用这种方法时，第一步建立空间直角坐标系常常成为最为关键的步骤，如果所建立的坐标系不能确定所给几何图形中关键点（所给平面外点及所给平面上不共线的任意三个点）在建立的坐标系的坐标，则无法进行后续步骤;如果所建立的坐标系虽然能够表示的关键点的坐标，但在所建立的坐标系中得到关键点坐标的计算过程复杂，或者得到的关键点坐标表达式复杂，都将会导致繁琐的的计算。因此，选择恰当的直角坐标系对于使用本方法及简化计算都是相当重要的。
3.6利用最值求点到平面距离
在介绍最值法之前，先介绍一个简单的知识，即点到平面的距离是点与平面上任意点连线的最小值。以下对这点做简要说明。
如图12所示，平面外一点在平面的射影为点,为平面上任意一点。

图12
若不与重合，则，构成三角形。因平面，平面,，三角形为直角三角形，从而由勾股定理有

这样就证得了结论。
有了上面这个结论，那么只要找到平面外一点到平面上任意一点的距离的函数表示，再求出该函数的最小值，则由上面结论即可知该最小值即为点到平面的距离。一般构造函数没有确定的方法，不同的角度构造出的函数表示很可能是不一样的，不过这并不影响最终结果。下面用常用的向量构造方法构造函数求解上面例子中点到平面的距离.
解法六（最值法）如图13所示，为平面上任意一点，以点为原点，，，所在的正方向分别，，轴的正方向建立空间直角坐标系。

图13
由所给条件知道、，，
从而有，。
设点在所建立的坐标系下的坐标为，因在平面上，从而向量可由相交向量、线性表示，不妨设 （）
则

因此

（当且仅当时取等号）
从而到平面上点的距离最小值为，也即点到平面的距离为。
最值方法提供了求解点到平面距离的一种较为新颖的方法，同时这种方法是建立在对点到平面距离的深入理解的基础上的，也有助于加深理解点到平面距离的概念。不过这种方法对使用者的代数知识素养要求较高，要将几何图形中的几何关系转化为代数关系，构造出平面外点到平面上点的函数关系，而且对函数最值的求法也需要较高的变形技巧，否则即使构造出平面外点到平面上点的函数关系也难求出函数最值，故一般这种方法对水平较高的读者比较适用。
3.7利用点到平面的距离公式求点到平面的距离
点到平面的距离公式主要是利用解析几何的知识，将所给点及平面均给予代数表式，从而用代数方法得到的点与平面距离的统一的代数表示。点到平面的距离公式的推导方法有相当多，如直接用两点间距离公式推导、利用直线参数方程中参数的几何性质推导、利用球的切平面性质推导、利用极值法推导等等。公式法的实质是几何量代数化的结果，因此绝大多数求解点到平面距离的几何方法转化为代数语言都可以得到一般意义上的点到平面的距离公式。限于本文篇幅，就不对这些方法一一介绍了，下面仅从利用两点间距离公式的角度给出点到平面的距离公式一种推导。
如图14所示，平面外一点在平面的射影为点。

图14
在某空间直角坐标系下，设平面的代数方程为：，点的坐标为。将平面的方程改写为
③
又由平面及直线过点知道直线的方程为

下面不妨设
④
将④代入③中得到

显然的坐标在直线上，从而满足④，即有

进而根据两点间的距离公式

=
即
⑤
这样就得到了点与平面的距离公式，依据⑤式，只要知道在同一空间直角坐标系下所给点的坐标与平面的方程即可求得点与平面的距离。
下面用公式法求解上面例子
解法七（公式法）如图15所示，以点为原点，以向量，，的正方向分别，，轴的正方向建立空间直角坐标系。
由所给条件知道、，，。设平面在该空间直角坐标系下的方程为，因，，均在平面上，从而满足平面方程，即有

图15
由这个方程组得到

从而平面的方程为

设点到而平面的距离为，由点到平面的距离公式有

即点到而平面的距离为。
有了⑤这个公式之后，求点与平面的距离将变得更加简单，同时也变得更加机械化。对于机械化的方法，一般都有较多的计算过程，从而也使得在使用公式法时更加注重运算效率，从而选取恰当坐标系以简化计算特别是求平面方程的计算就显得尤为重要。一般地，如果所要求得距离在一个立方体中，则应首先考虑以立方体三条互相垂直的棱作为坐标轴，在一般的几何体中建立坐标系时，也应选择互垂线条数多的作为坐标轴以达到简化的目的。
总之，本质上来说，求解点到平面的距离每种解法都是特定的数学工具,都包涵了其所必需的条件及相应的程序过程 。这也就决定了点到平面的距离不存在一种普遍适用的解法，各种解法各有所长，各有其特定的适用范围。

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