第六章不等式.doc

第六章 不等式
第六章 不等式
第1课 不等式的性质（1）
一、教学目标：理解实数的运算性质与大小顺序之间的关系，掌握比较实数大小的方法；
二、教学重点：比较实数大小的方法；
三、教学难点：比较实数大小的方法；
四、教学过程：
1. 新课引入：
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元。问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
设水池底面一边的长为xm，则另一边的长度为m.又设水池总造价为y元，则有：

这是一个求函数最小值的问题，学习完本章中不等式的有关定理后，上述问题就迎刃而解了。
不等式是数学的重要内容，是研究数量的大小关系的必备知识，是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具。
2.新课讲解：
a>ba－b>0
a＝ba－b＝0
a<ba－b<0
①实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上不同的两点中，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
②如果a>b，则a－b是正数；其逆命题也成立.
如果a<b，则a－b是负数；
如果a＝b，则a－b＝0.即有：
③要比较两个实数的大小，只需考察它们的差的
符号即可.
3.例题讲解：
【例1】比较（a＋3）（a－5）与（a＋2）（a－4）的大小.
【例2】已知x≠0，比较.
提问：本例中若无x≠0的条件限制，又如何解决？
4.练习：P5、1-3
5.小结：略
6.作业：P8、1－3
第2课 不等式的性质（2）
一、教学目标：理解不等式的性质与证明，会用性质判别简单的不等式；
二、教学重点：不等式的性质与证明；
三、教学难点：不等式性质的证明与应用；
四、教学过程：
1. 复习提问：
①实数的运算性质与大小顺序之间有何关系？
②如何比较两个实数的大小？
2. 新课讲解：
定理1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b. （反对称性）
证明：∵a>b, ∴a－b>0, ∴－(a－b)<0, 即b－a<0，
∴b<a
定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向。
定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c. （传递性）
证明：∵a>b,b>c, ∴a－b>0,b－c>0. ∴(a－b)+(b－c)>0, 即a－c>0.
∴a>c.
根据定理1，定理2也可表示为：若c<b，且b<a，则c<a.
定理3 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
证明：∵（a+c）－（b＋c）＝a－b>0,
∴a＋c>b＋c
定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
根据定理3，如果a＋b>c，那么a>c－b.即是说，不等式中的如何一项都可以在改变符号后，把它从一边移到另一边.
推论 如果a>b，且c>d，那么a＋c>b＋d.
证明：∵a>b, ∴a+c>b+c,
∵c>d, ∴b+c>b+d,
∴a+c>b+d.
说明：上述推论可推广到任意有限个同向不等式相加.
3.例题讲解：
【例】判断下列命题的真假，并简要说明理由.
（1）a>b,c>da－c>b－d，
（2）a>0>b,0>c>da+c>b+d.
4.练习：P7、1（1），2（1），3（1）
5.小结：略
6.作业：补充
第3课 不等式的性质（3）
一、教学目标：理解不等式的性质与证明，会用性质判别简单的不等式；
二、教学重点：不等式的性质与证明；
三、教学难点：不等式性质的证明与应用；
四、教学过程：
1. 复习提问：
简述不等式的性质定理1－3及有关推论
2. 新课讲解：
定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果c<0，那么ac<bc.
证明：ac－bc＝（a－b）c.
∵a>b, ∴a－b>0.
当c>0时，（a－b）c>0，即ac>bc；
当c<0时，（a－b）c<0，即ac<bc
推论1 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
说明：推论1表明，任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
推论2 如果a>b>0,那么 （n∈N，且n>1）
定理5 如果a>b>0，那么（n∈N，且n>1）
证明：假定，则有：或者.
由推论2和定理1知，当时，有a<b；当时，有a＝b.
这些都与已知条件a>b>0矛盾.故
3. 例题讲解：
【例3】已知a>b，c<d，求证a－c>b－d.

【例4】已知a>b>0，c<0，求证.

4.练习：P7、1（2）－（4），2（2）－（4），3（2）－（4）
5.小结：略
6.作业：P8、4－6

第4课 算数平均数与几何平均数（1）
一、教学目标：掌握两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；
二、教学重点：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数；
三、教学难点：定理的条件及其应用；
四、教学过程：
1.复习提问：
简述不等式的性质定理1－5及有关推论
2.新课讲解：
（1）利用不等式的性质，我们可以导出如下重要不等式：
如果a,b∈R，那么（当且仅当a＝b时取“＝”号）.
证明：
当a≠b时，>0；当a＝b时，＝0，
故≥0，即
（2）由上述结论，有：
定理：如果a，b是正数，那么（当且仅当a＝b时取“＝”号）.
证明：∵
∴a+b≥，即，
显然，当且仅当a＝b时，.
这里，我们称为a，b的算数平均数，称为a，b的几何平均数.故
上述定理可叙述为：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.
A
a
b
D/
C
D
B
上述定理的几何解释为：以a＋b长的线段为直径
作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b.过C作
垂直于AB的弦DD/,连接AD、DB，易证Rt△ACD∽
Rt△DCB，那么CD2=CA•CB,即.这个圆的半径为
，显然，它大于或等于CD,即，其中当
且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
3.例题讲解：
【例1】已知x，y都是正数，求证：
（1） 如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；
（2） 如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.
4.练习： 5.小结：略 6.作业：P11、1－3
第5课 算数平均数与几何平均数（2）
一、教学目标：掌握两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；
二、教学重点：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数；
三、教学难点：定理的条件及其应用；
四、教学过程：
1. 复习提问：
简述两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数的定理；
注意定理成立的条件：一正，二定.
2. 例题讲解：
【例2】已知a,b,c,d都是正数，求证：
（ab＋cd）（ac＋bd）≧4abcd.
利用两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数的定理，可以很容易解决本章引言中提出的问题.
设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，则

当 ，即x＝40时，y有最小值297600.
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
【例3】求的最小值.

【例4】求的最小值.

【例5】设a,b,c.

3. 练习：P11、1－4
4. 小结：略
5. 作业：P11、4－7

第6课 不等式的证明（1）
一、教学目标：掌握用比较法证明简单的不等式的方法和步骤；
二、教学重点：用比较法证明不等式的方法和步骤；
三、教学难点：用比较法证明不等式的方法和步骤；
四、教学过程：
1. 复习提问：
（1）实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
（2）不等式的有关性质.
由实数的运算性质与大小顺序之间的关系可知，要证明a>b，只要证明a－b>0；要证明a<b，只要证明a－b<0.这种证明不等式的方法，在前边已经使用过，我们把它叫做分析法.
2.例题讲解：
【例1】求证：x2＋3>3x.
证明：∵

∴x2＋3>3x
【例2】已知a,b,m都是正数，并且a<b，求证：

例2引入：①猜测：与哪个大？
②问题的实际意义：有a克糖，放在水中得b克糖水，浓度是多少？把糖增加m克，此时浓度是多少？糖水变甜了还是淡了？说明了什么问题？
证明：
∵a,b,m都是正数，并且a<b，
∴b＋m>0，b－a>0.
∴ 即
（作差）比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的一般步骤是：作差、变形、判断符号.其中，变形的目的全在于判断差的符号，至于差的值是多少是无关紧要的.可用配方法、通分法、因式分解法等进行变形.为便于判断符号，可把差变形为一个常数，或一个常数与一个或几个数的平方和的形式，或变形为一个分式，或变形为几个因式的积的形式.
3.练习：P14、1－3
4.小结：略 5.作业：P16、1－3
第7课 不等式的证明（2）
一、教学目标：进一步巩固用比较法证明简单的不等式的方法和步骤；
二、教学重点：用比较法证明不等式的方法和步骤；
三、教学难点：用比较法证明不等式的方法和步骤；
四、教学过程：
1.复习提问：
（1）实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
（2）不等式的有关性质.
（3）用（作差）比较法证明不等式的一般步骤步骤及有关问题.
2. 例题讲解：
【例3】已知a,b是正数，且a≠b，求证：

证明：

∵a,b是正数， ∴a+b>0.
∵a≠b， ∴（a－b）2>0
∴ 即
∴
【例4】甲、乙两人同时同地沿同一路线到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠n，问甲、乙两人谁先达到指定地点？
分析：设从出发点至指定地点的路程为S，甲、乙二人走完全程所用的时间分别为t1、t2.则问题转化为比较t1与t2的大小即可.
解：设从出发点至指定地点的路程为S，甲、乙二人走完全程所用的时间分
别为t1、t2.依题意有： （下略）
提问：如果m＝n，那么谁先达到指定地点？
3.练习：P14、4，
4.小结：（作差）比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的一般步骤是：作差、变形、判断符号.其中，变形的目的全在于判断差的符号，至于差的值是多少是无关紧要的.可用配方法、通分法、因式分解法等进行变形.为便于判断符号，可把差变形为一个常数，或一个常数与一个或几个数的平方和的形式，或变形为一个分式，或变形为几个因式的积的形式.
5.作业：补充
第8课 不等式的证明（3）
一、教学目标：掌握用综合法证明简单的不等式的方法和步骤；
二、教学重点：用综合法证明简单的不等式的步骤；
三、教学难点：用综合法证明简单的不等式的步骤；
四、教学过程：
1. 复习提问：
（1）简述两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数的定理；
注意定理成立的条件：一正，二定，三相等.
（2）简述不等式的性质定理.
除用（作差）比较法可以证明不等式外，我们还可以利用某些已经证明过的不等式（如算数平均数与几何平均数定理）和不等式的性质来推导出所要证明的不等式成立.这种证明方法通常叫做综合法.
2.例题讲解：
【例5】已知a,b,c是不全相等的正数，求证：

证明：∵
∴
同理
又∵a,b,c不全相等， ∴三式不能同时取“＝”号，从而也不能同时取“＝”号.
∴
【补例1】1.设a,b,c∈R＋，求证：
变式：设a,b,c∈R＋，且a+b+c=1，求证：
（1） （2）
（3）
2.已知x,y∈R＋，且
3. 设a,b,c∈R＋，且互不相等，abc＝1，求证：

3.练习：P14、1，2
4.小结：略
5.作业：P16、1,3

第9课 不等式的证明（4）
一、教学目标：掌握用分析法证明简单的不等式的方法和步骤；
二、教学重点：用分析法证明简单的不等式的步骤；
三、教学难点：用分析法证明简单的不等式的步骤；
四、教学过程：
1.复习提问：
（1） 我们已学了哪些证明不等式的方法？其步骤怎样？
（2） 简述不等式的性质.
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立.这种证明不等式的方法叫做分析法.
2.例题讲解：
【例6】求证：
证明：因为都是正数，所以为了证明，只需证明
展开得， 即.
因为21<25成立，故成立.
∴
说明：证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.这时我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.
【例7】证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小.设截面
的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方
形边长为，截面积为.故本题只需证明.
证明：略
3.练习：P16、1－3
4.小结：略
5.作业：P17、4－6

第10课 不等式的证明（5）
一、教学目标：进一步巩固用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式的步骤，培养学生针对具体问题具体分析，并灵活运用各种方法的能力；
二、教学重点：会用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式；
三、教学难点：会用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式；
四、教学过程：
1.复习提问：
（1）简述不等式的性质；
（2）用比较法、综合法、分析法证明不等式各有哪些步骤？
以上三种方法应针对具体的问题进行具体分析，并灵活运用某种方法.
2.例题讲解：
【补例2】已知a,b∈R＋，且a+b=1，求证：
变式：（1） （2）

【补例3】求证：

【补例4】已知a,b,c是不全相等的正数，求证：

【补例5】若a>0,b>0,且2c>a+b,求证:
(1)c2>ab; (2)

【补例6】已知△ABC外接圆半径R＝1，S△ABC＝1/4，a,b,c是三角形的三边长，
令S＝，求证：t>s.

【补例7】已知a,b,c是不全相等的正数，求证：

【补例8】（1）已知a,b∈R＋，求证：
（2）已知a>b>0，求证
3.小结：略
4.作业：P17、7－9
第11课 不等式的解法举例（1）
一、教学目标：掌握简单的含绝对值的不等式的解法，会熟练地解含绝对值的不等式；
二、教学重点：熟练地解含绝对值的不等式；
三、教学难点：熟练地解含绝对值的不等式；
四、教学过程：
1.复习提问：
（1）如何解不等式与不等式组？
（2）如何解含绝对值的不等式？
含绝对值的不等式
不含绝对值的不等式
转化为

2.例题讲解：
【例1】解不等式
分析：由不等式的解集是知，上述不等式可转化为
，即有解此不等式组，其解集就是原不等式的解集.
解：略
【补例1】解不等式
分析：原不等式可转化为
【补例2】求不等式的整数解.
分析：原不等式转化为不等式组
【补例3】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/t以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现紧急情况，同时刹车，但两车还是相碰了。事后现场测得甲车的刹车距离超过12米，乙车的刹车距离超过10米，又知甲、乙两种车型的刹车距离S（米）与车速x(kmt)之间分别有如下关系：
问：两车相碰的主要责任是谁？
3.练习：P18、1，2
4.小结：略
5.作业：P19、1（1），2

第12课 不等式的解法举例（2）
一、教学目标：掌握简单的分式不等式的解法，会熟练地解分式不等式，体会转化的思想方法；
二、教学重点：熟练地解分式不等式；
三、教学难点：熟练地解分式不等式；
四、教学过程：
1. 复习提问：
（1）如何解含有绝对值的不等式？
（2）如何解分式不等式？
分式不等式
整式不等式
转化为

2.例题讲解：
【例2】解不等式
分析：根据商的符号法则，原不等式可转化为两个不等式组：
.
说明：在取不等式组解集的交集、并集时，可利用数轴结合进行，这样可避免错误.
【补例4】解不等式
【补例5】k为何值时，不等式对任意实数x恒成立？
3.练习：P19、1
4.小结：分式不等式的同解变形有以下几种情况

5.作业：P19、1（2），3，4

第13课 不等式的解法举例（3）
一、教学目标：了解高次不等式、含二次根式的不等式、超越不等式的解法，会解简单的高次不等式、含二次根式的不等式、超越不等式；
二、教学重点：会解简单的高次不等式、含二次根式的不等式、超越不等式；
三、教学难点：高次不等式、含二次根式的不等式、超越不等式的解法；
四、教学过程：
1.复习提问：
含绝对值的不等式
不含绝对值的不等式
转化为
（1） 如何解含有绝对值的不等式？

（2）如何解分式不等式？
分式不等式
整式不等式
转化为

（3）高次不等式、含二次根式的不等式、超越不等式的解法：
高次不等式
一次、二次不等式组
转化为

无理不等式
有理不等式
转化为

超越不等式
代数不等式
转化为

2.例题讲解：
【补例6】解不等式
说明：用“根标法穿浪线图”求解时，先把f(x)=0的根标在序轴上，从右上方依次通过每一点画曲线，从右至左的各个区间上f(x)依次取“＋”、“－”、“＋”，┅再根据曲线显现出的f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集.但在遇“偶次”点时，浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到“奇次”点才穿过数轴，另外，对分界点是空心还是实心应特别留意.
【补例7】解不等式（1） （2）
说明：
【补例8】解不等式（1）（2）
3.练习：P19、2
4.小结：略
5.作业：补充

第14课 含有绝对值的不等式（1）
一、教学目标：掌握含有绝对值的不等式的一个定理及其证明；
二、教学重点：含有绝对值的不等式的一个定理及其证明；
三、教学难点：含有绝对值的不等式的一个定理及其证明；
四、教学过程：
1.复习提问：
（1）一个数x的绝对值的含义：
（2）当a>0时，有

（3）式子

2.新课讲解：
定理
证明：见书P20

推论1

推论2

3.例题讲解：
【例1】 已知求证：

证明：见P21

【补例1】已知a,b,x∈R，

4.练习：P22、1，2
5.小结：略
6.作业：P22、1，2

第15课 含有绝对值的不等式（1）
一、教学目标：进一步掌握含有绝对值的不等式的定理及其含有绝对值的不等式的证明；
二、教学重点：含有绝对值的不等式的定理及其含有绝对值的不等式的证明；
三、教学难点：含有绝对值的不等式的定理及其含有绝对值的不等式的证明；
四、教学过程：
1.复习提问：
（1）当a>0时，有

（2）含有绝对值的不等式的定理及其推论.
2.例题讲解：
【例2】设a,b,c,d都是不等于0的实数，求证：

证明：见书P21

【例3】已知

证明：见书P22

【补例2】
（1）若不等式有实数解，则a的取值范围是 .
（2）已知a,b
（3）已知x,y,z∈R，求证：

3.练习：P22、3
4. 小结：略
5.作业：P22、3，4，5

第16课 小结与复习（共2课时）
一、教学目标：系统复习本章基础知识及其数学思想方法；
二、教学重点：基础知识及其数学思想方法的运用；
三、教学难点：用基础知识及其数学思想方法解决生活中的问题；
四、教学过程：
1. 复习提问：
（1）让学生阅读书P26－27中的有关内容，然后针对有关问题提问；
（2）本章知识结构图：

（3）有关注意事项：见书P27
2.例题讲解：
【例1】已知a,b,c,d都是实数，且
说明：例1的三种证法说明了证明不等式的方法是多种多样的，我们应根据不等式的特点来选择适当的方法.一般来说，如果能用分析法寻找出证明某个不等式的途径，也就能用综合法证明不等式，同时还可启发我们是否能用比较法来证明.
【例2】如图，设矩形ABCD（AB>CD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P.设AB＝x，求△ADP的最大面积及相应的x值.
分析：求△ADP的最大面积，首先应写出△ADP的面积表达式.由于AD＝12－x，关键是要将DP用x表示出来.由图可知，DP＝PB/，AP=x-DP，然后在△ADP中用勾股定理即可把DP用x表示出来.
A
B
C
D
P
P/
解：见书P29

【补例1】已知关于x的方程有
非负实根，求实数m的取值范围.
【补例2】设f（x）＝

【补例3】关于实数x的不等式，
（a∈R）的解集分别为A与B，求使AB的a的取值范围.
【补例4】已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求的最小值.
【补例5】已知关于x的方程有实根，求实数a 的取值范围.
解：设其实根为t，则t-3>0,t+2>0，且t－1>0,故t>3.
由已知得a（t－3）＝（t＋2）（t－1）.有
故实数a的取值范围是
【补例6】已知函数f（x）＝的图像过点（－1，0），问：是否存在常数a,b.c，使不等式对一切实数x都成立？
【补例7】已知
【补例8】m取何值时，关于x的方程
（1）有两个正根；
（2）有一个正根，一个负根；
（3）有两个都大于2的根；
（4）有一根位于区间（0，1）内，另一根位于区间（1，2）内.

3.练习：补充
4.小结：略
5.作业：P30－31中部分

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