勾股和等腰三角形.doc

课题：一元二次方程的应用
科目
数学
教学对象
九年级
课时
1
提供者
周茜
单位
洪洞县大槐树镇南王中学
一、教学目标
1、知识技能：
使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、过程与方法：
通过合作探究的方法，学生经历探索求根公式的过程，使学生进一步认识特殊与一般的方法。
3、情感态度价值观：
在探索和应用求根公式中，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物广义观点。
二、教学内容分析
  本节课的内容是继直接开平方法、因式分解法、配方法后的又一种新的一元二次方程的解法，这种方法适用于每一个一元二次方程，运用最广泛，关键是要理解公式的推导过程和公式的运用。

三、学情分析
与其他年级的初中生相比，九年级学生接受问题的能力较强，但我校位于城乡结合处，好些的学生都到城里上学去了，整体素质较差。因此，教学过程应多创设贴近学生生活的实际问题情境，激起学生的有效注意力；多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与，勤于动手，从而乐于探究。

四、教学策略选择与设计
 1、教法上采用启发引导、讲练结合的授课方式，发挥教师的主导作用，体现学生的主体地位；
2、在训练内容的选择上，考虑到学生新旧知识结合的能力：一是以方法为主，采用层层递进的方式；二是以基本技能为主，而不追求一元二次方程繁难的解题技巧。
五、教学重点及难点
教学重点：1、对字母系数的二次三项式进行配方；
2、求根公式的结构比较复杂，不易记忆，因此要把握公式特征；
3、系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误，因此要强调代入系数时要连带符号
教学难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
(一)复习旧知，提出问题
1、用配方法解下列方程：
（1）4x2-12x-1=0
(2) 3x2+2x-3=0
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

 学生解方程
关注配方法的具体步骤

学生解完后，老师紧跟提问，激发学生探求新知的兴趣
3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

(二)合作探究求根公式
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)转化为( )2=( )的形式呢？

问题2：当b2-4ac≥0，且a≠0时，大于等于零吗？

问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？

学生思考、分析，发表意见，得出结论。
学生用配方法解一元二次方程的一般形式
让学生讨论、交流，从中得出结论，当b2-4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为，即。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式： （b2-4ac≥0）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
思考：当b2-4ac﹤0时，方程有实数根吗？

学生用配方法解得一元二次方程的一般形式的解，从特殊到一般，从而得到一元二次方程的求根公式，更容易理解与掌握
(三）小结 
 谈谈本节课的收获，你学到了什么，有什么问题？

学生反思以上解题过程，归纳得出：
当b2-4ac﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac﹤0时，方程没有实数根。
 学生归纳得到根的判别式
学生自己总结所学知识，有利于学生系统的掌握知识并进一步培养学生的语言组织能力
七、教学评价设计

1、 以问题入手，在巩固旧知识的同时，激起学生探求新知识的愿望。
2、通过合作交流，探求求根公式，经历了从特殊到一般的探究过程，经历知识产生、形成的过程，使学生对自己得出的结论深信不疑，更容易接受与掌握。
3、通过实例，学生得到了方程有不同的解的情况，这就想到了与b2-4ac有关，进而得到了根的判别式。
4、让学生自己提出问题，合作解决，然后由出题的同学发现其他同学解题过程中的问题，进而一起解决。
八、板书设计
1、用配方法解下列方程：
（1）4x2-12x-1=0
(2) 3x2+2x-3=0
2、用配方法解方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式： （b2-4ac≥0）
4、当b2-4ac﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac﹤0时，方程没有实数根。
课题： 探索勾股定理（第一课时）
科目
初中数学
教学对象
八年级
课时
第一
提供者
边帆
单位
山西省太原市迎泽区36中
一、教学目标

知识与技能

用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程。
理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系
会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
过程与方法
引导—探究—发现法．
情感态度与价值观
在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．
二、教学内容分析

本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．

三、学情分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．

四、教学策略选择与设计
设计理念：依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：运用拓展，强化训练；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业．为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．
五、教学重点及难点
教学重点：体验勾股定理的探索过程及定理的简单应用；
教学难点：用面积法证明勾股定理
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
（一）创设情境，引入新课
2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”
的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）

学生

观察

图形
紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.

激发起学生的求知欲和爱国热情

（二）探索发现勾股定理
探究活动一
内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：

（2）引导学生从面积角度观察图形：

问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？

学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.

1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；
2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.

探究活动二：
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
观察下面两幅图：

（3）你是怎样得到正方形C的面积的？

学生填表：

学生分组交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）

图1

图2

图3
探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.

（4）分析填表的数据，你发现了什么？

学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，．
学生分析数据，归纳出：
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.

议一议：内容：（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（学生归纳出后，教师板书）
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）

学生观察，交流，最后归纳出：
如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.
1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.
2．通过作图培养学生的动手实践能力.

（三）勾股定理的简单应用
例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
（教师板演解题过程）

学生练习：1、基础巩固练习：
（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：

2、生活中的应用：
　 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．
例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
（四）运用拓展，强化训练
教师出示投影（练习3、4、5）

3．一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端滑动　　　m．
4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和
是　　　　cm2．
5、如左图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.
（五）课堂小结
教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．

在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
　 ② 面积法；
　 ③ “割、补、拼、接”法.
3．思想：① 特殊—一般—特殊；
　② 数形结合思想．
鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．
通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.

（六）布置作业
1．教科书习题1.1；
2．阅读《读一读》——勾股世界；
3．观察右图，探究图中三角形的三边长是否满足.

课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．

七、教学评价设计
首先，在探索勾股定理的过程中，对学生的参与热情、情感态度、探究的积极性、探究的效果等学习情况进行评价．
其次，在“勾股定理的简单应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况．
第三，在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况．
第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．
教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果．
八、板书设计
 1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
　 ② 面积法；
　 ③ “割、补、拼、接”法.
3．思想：① 特殊—一般—特殊；
　② 数形结合思想．
课题：等腰三角形（1）
科目
数学
教学对象
七年级
课时
1
提供者
邱建强
单位
山西省临汾市尧都区汾河联校
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）使学生了解等腰三角形的有关概念.
（2） 掌握“等边对等角”和“等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一”
的性质 .
2、过程与方法：
（1）经历画等腰三角形及折纸的过程，探索等腰三角形的性质.
（2）初步学会简单的数学说理方法.
3、情感态度与价值观：
（1）通过设疑激发兴趣，培养学生对数学的好奇心.
（2）初步感受数学的严谨性和逻辑性.
二、教学内容分析
本小节“等腰三角形”安排在第十章第三节“轴对称”之后，根据新的教育理念，以轴对称为切入点，改变了以全等三角形为切入点的做法.在学生动手操作的基础上，通过观察、猜想、自主探究、证明等应用方式的学习，获取新知，完成了从感性认知到理性认知的过程.
三、学情分析
七年级学生经过半年多的初中学习，对初中数学的学习方法有了一定的了解和掌握，对三角形和轴对称图形的知识有了一定的储备；他们有很强的好奇心和求知欲，有一定动手操作的教学活动都比较乐于参与；对以书本、纸和笔为主要教学工具的教学活动兴趣不浓，不愿意参加，有些学生的“孩子气”还比较浓；让他们归纳表达自己的想法和看法时，又显得比较紧张，不能较流畅地表达出来，并且缺乏逻辑性，希望得到老师的帮助；会使用学校的图书媒体中心选择、查找和利用适合自己的资料；有一定的合作交流能力，愿意把自己的想法与同伴分享，希望得到老师和同学的好评.
四、教学策略选择与设计
 本节的教学资源是教师自己做的课件，利用电子白板进行实施教学.
为了突出重点、突破难点，让学生在动手、动脑、动口中快乐的学习，我准备如下操作程序：
一、创设情景，导入新课.从学生生活中看到的物体引入，形成感性认知，让学生动手画了画抽象出图形，再提出相关概念.
二、探求新知，合作交流.让学生动手折叠，提出问题，激发学生的学习兴趣，让学生观察思考，得出等腰三角形的性质。
三、举例示范，巩固新知.举出例子，让学生思考完成，掌握等腰三角形的性质及运用。可以小组讨论.
四、归纳总结，形成链条.通过练习归纳，强化学习效果，让学生形成较为完整的知识链条.
五、课外作业，形成迁移。促进学生对所学知识的迁移与运用，进而形成能力.
五、教学重点及难点
 1、教学重点：
等腰三角形等边对等角的性质.
2、教学难点：
通过操作、观察、分析、归纳得出等腰三角形的性质.
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情景，导入新课
1、多媒体展示图片，提出问题：日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形状。
 2、什么样三角形是等腰三角形？
3、等腰三角形有哪些性质？

1、学生思考回答 。
2、学生动手画一画，小组讨论思考回答.
从日常生活引入可以激发学生兴趣，让学生动手画一画，让学生知道数学是来源于生活，反过来为生活服务。学生在画的过程中，对所学知识有一个初步的感知.
二、探求新知，合作交流
1、电子白板展示折叠图形。
2、你能发现什么结论？根据学生反馈归纳板书.
3、教师播放课件，展示练习题

1、学生动手折叠等腰三角形，让两条腰重叠在一起.
2、学生分小组讨论.
3、学生思考作答.
学生在动手的过程中，体验发现、发明的艰辛与快乐，板书加深学生对所学知识理解与记忆，并给学生的起到了一定的示范作用.
 三、举例示范，巩固新知
1、教师用课件展示例题：例题1，已知：在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数.
 2、反馈，教师板书解题过程
3、引伸：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数.
4、教师出示例题2，
5、检查反馈，教师点评.
6、根据情况组织学生练习.
1、学生思考回答.
2、学生可以同桌讨论.
3、学生练习：
填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，
1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______
2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝___
3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______

 通过练习，让学生掌握等腰三角形的性质及其运用
 四、归纳总结，形成链条
教师播放课件：本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等 (简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用.用数学语言表述如下：
1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C.
　 2．△ABC中，如果AB＝AC，D在BC上，那么由条件(1)∠BAD＝∠CAD，(2)AD⊥AC，(3)BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个.

 给学生两分钟的时间，让学生回忆，在学生回忆反馈的基础上，教师播放课件.
强化学习效果，形成完整的知识链条 
五、课外作业，形成迁移
1、等边三角形有什么性质？
2、完成作业P99习题第1、2、3题
学生课后思考完成.
布置作业促进学生对所学知识的迁移与运用，有助于学生形成能力
七、教学评价设计
1、以小组为单位进行评价。教师根据每个问题的回答情况，给各个小组给出分值，（完整回答记2分、回答基本完整记1分、回答不正确记0分）下课时小结，好的小组给予表扬鼓励，分值记入月小组评价.
2、学生自我评价，本节课的知识点你掌握了多少？还有哪些地方存在困惑？课后如何解决？
八、板书设计
 等腰三角形
一、性质：等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）
(1)等腰三角形是轴对称图形 (2)∠B＝∠C (3)BD＝CD，AD为底边上的中线。(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. (5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线.
二、例题1的解题过程