线面、面面平行、垂直例题.doc

第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定
¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行线面平行”.
¤知识要点：
1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
符号表示为：. 图形如右图所示.
¤例题精讲：
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.

【例3】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN//平面PAD；
（2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
.

第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定
¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.
¤知识要点：
面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：.
¤例题精讲：
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
N
M
P
D
C
Q
B
A
.

【例2】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
求证：平面MNQ∥平面PBC.

第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质
¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.
¤知识要点：
β

线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
即：.
¤例题精讲：
【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B

【例2】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD//平面EFGH.

第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质
¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.
¤知识要点：
1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：.
2. 其它性质：①； ②；
③夹在平行平面间的平行线段相等.
¤例题精讲：
【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.

【例4】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且. 求证：EF∥平面ABCD.

第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定
¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.
¤知识要点：
1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. －平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）
2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥
3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
¤例题精讲：
【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面.

【例2】已知是矩形，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．

【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.

第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定
¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.
¤知识要点：
1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）
2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.
3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.
4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）
¤例题精讲：
【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.

【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面.

【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：．

第18讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质
¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用.
¤知识要点：
1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）
2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，，，，则.（面面垂直线面垂直）
¤例题精讲：
【例1】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．

A
E
D
B
C
【例2】如图，已知空间四边形中，，是的中点。
求证：（1）平面CDE;
（2）平面平面。