NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2023,36(4):940-950NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断黄玉1,晏振2(1.南宁学院教育学院,广西 南宁 530200;2.广西师范大学数学与统计学院,广西 桂林 541004)摘要：本文研究NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断,将分块技术应用到经验似然方法中,证明部分线性模型的参数的对数经验似然比统计量的渐近分布为卡方分布,由此构造了NA样本下的经验似然置信区间.同时,在有限样本情况下给出运用分块技术的经验似然与不运用分块技术的经验似然的模拟对比结果.关键词：部分线性模型;随机设计;分块经验似然;NA样本;置信区间中图分类号：O212.7AMS(2010)主题分类：62G05;62E20文献标识码：A文章编号：1001-9847(2023)04-0940-111.引言如果对于集合1,2,n中的任何两个互不相交的非空子集A1与A2,以及对每个变元均非降(非升)的函数f和g,只要Ef2(xi,i A1),Eg2(xj,j A2),都有Covf(xi,i A1),g(xj,j A2)6 0,则称随机变量序列xi,1 i n是NA(Negative Association)序列.NA序列的概念被Block等1、Joag-Dev和Proschan2首次介绍和研究,并且有很多学者研究了NA序列的极限性质(中心极限定理、强大数律和完全收敛性等),如杨善朝和王岳宝3在NA相依样本下研究了非参数回归函数加权核估计的相合性;韦来生4研究了密度核估计的矩相合性、逐点强相合性和一致强相合性;Braenden和Jonasson5研究了抽样中的负相关性等.由于NA序列的概念在可靠性理论、渗透理论和多元统计分析等中有广泛的应用,因此目前已经有少量论文研究在NA相依样本下具体的统计推断,如QIN和LEI6研究了NA样本下含附加信息时分位数的估计;付鸿涛等7研究了NA样本下随机设计情形线性模型的经验似然推断等.本文研究如下随机设计情形部分线性模型:y=xT+g(t)+,(1.1)其中y为一维响应变量,(xT,t)T为(r+1)1维随机设计向量,为r 1维回归系数向量,g为定义在0,1上的未知函数,为随机误差且满足E(|x)=0.设(x1,t1),(x2,t2),(xn,tn)是随机设计向量的观测值,y1,y2,yn为响应变量的观测值和1,2,n为随机误差序列.同时,我们假定x1,y1,x2,y2,xn,yn为NA随机变量序列.收稿日期：2022-09-26基金项目：国家自然科学基金(11901124);南宁学院2021年度教授培育工程项目(2021JSGC07)作者简介：黄玉,女,壮族,广西人,副教授,研究方向：概率论与数理统计.通讯作者：晏振.第 4 期黄玉等：NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断941部分线性模型是由Engle等8引入来研究天气对电力需求的影响,这是非参数模型和线性模型的一种组合形式,具有非参数模型的稳健以及线性模型的容易解释的优点.由于它的广泛应用,部分线性模型在独立样本下得到了广泛的研究910.如QIN11、SHI和LAU12在独立样本下引进经验似然方法来研究部分线性模型等.经验似然方法是由Owen1314提出,这一方法与非参数统计方法比较具有很多突出的优点，如：用经验似然方法构造置信区域除有域保持性、变换不变性和置信域的形状由数据自行决定等之外，还有纠偏性及无需构造枢轴统计量等优点.正因为如此,这一方法引起了许多统计学者的兴趣,他们将这一方法应用到各类统计模型和领域中,如Owen15构造了线性模型回归系数的经验似然置信域;CHEN 和QIN16研究了非参数回归模型的经验似然;于卓熙等17研究了NA误差下部分线性模型的经验似然推断等.而Kitamura18首次提出用分块经验似然方法构造总体参数的经验似然置信区间;CHEN和WONG19用分块经验似然方法构造了总体分位数的经验似然置信区间;CHEN和GUI20研究了EL方法在鞅差分误差部分线性模型中的应用;LEI和QIN21在误差负相关的情况下用EL方法构造部分线性模型回归参数的置信区域;HUANG和QIN22则研究了强混合样本下部分线性模型的经验似然推断等.本文主要研究NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断,将分块技术应用到经验似然方法中,证明部分线性模型的参数的对数经验似然比统计量的渐近分布为卡方分布,由此构造NA样本下的经验似然置信区间.同时,在有限样本情况下给出运用分块技术的经验似然与不运用分块技术的经验似然的模拟对比结果.接下来我们将在论文的第2节给出本文的主要结果,第3节给出模拟结果,第4节给出引理及主要结果的证明.2.主要结果本文的经验似然得分函数为:ei=e xi(e yi e xTi)(1 6 i 6 n),其中e xi=xinj=1Wnj(ti)xj,e yi=yinj=1Wnj(ti)yj,1 6 i 6 n,其中Wni(t)(i=1,2,n)为定义在0,1上的一个非负权重函数.为了获得的经验似然置信区间,我们需要对经验似然得分函数的和进行大块和小块分割:令n,2m1()=rm+p1i=rmei,n,2m()=lm+q1i=lmei,n,2k+1()=ni=k(p+q)+1ei,其中rm=(m1)(p+q)+1,lm=(m1)(p+q)+p+1,m=1,2,k,k=kn=n/(p+q),这里a表示a的整数部分,p=p(n)和q=q(n)为正整数且满足p+q 6 n.为简便记ni=n,i()(1 6 i 6 n).则分块经验似然比统计量如下:R()=supp1,p2k+12k+1i=1(2k+1)pi)|2k+1i=1pi=1,pi 0,2k+1i=1pini=0.(-2log)分块经验似然比统计量为l()=22k+1i=1log1+T()ni,(2.1)其中()Rr由下式确定12k+12k+1i=1ni1+T()ni=0.(2.2)942应用数学2023记n=Cov(ni=1e xi(e yi e xTi).用x表示向量x的L2范数,min(A)和max(A)分别表示矩阵A的最小和最大特征值.为了得到l()的渐近分布,我们需要如下假设条件.假设条件:(A1)(i)x11,x1d,y1;x21,x2d,y2;,xn1,xnd,yn是NA随机变量序列.(ii)s=1di=1dj=1|Cov(x1i,xs+1,j)|,s=1di=1|Cov(y1,xs+1,j)|,s=1di=1|Cov(x1i,ys+1)|,和s=1|Cov(y1,ys+1)|.(iii)E4 C(nlog n)12)=o(n12),其中常数C 0.(A3)如上面描述的n,p,q和k,满足:(i)pk/n 1;(ii)qk/n 0.接下来我们给出本文的主要结论.定理2.1若假设条件(A1)到(A3)都满足,则当n 时有l()d 2r,其中2r为自由度为r的卡方分布.设z,r满足P(2r6 z,r)=1 (0 1).由定理2.1知,的渐近水平为1 的经验似然置信区间为:l()6 z,r.(2.3)3.模拟结果在模拟中,我们考虑如下部分线性模型:yi=xi11+xi22+g(ti)+i,(3.1)其中1=1.5,2=1.2,g(t)=t2,ti=in和i=(1/2)i1+i0,其中i0为独立同分布的标准正态随机变量序列,则随机误差i为NA随机变量序列.接下来考虑:(x1,y1,x2,y2,xn,yn)multionomial(N:p1,p2,p2n),其中N=600,pi=12n.由文2知,此处(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)为NA随机变量序列.我们用BELCI记由式(2.3)给出的的基于经验似然方法的置信区间,用ELCI记文17中的定理2.1给出的的基于经验似然方法的置信区间.从上述(3.1)模型中重复产生1000个样本(xi,ti,yi),i=1,2,n,样本容量分别为n=300,400,500,600和700.我们选取Nadaraya-Watson权重函数如下:Wni(t)=Kh(t ti)nj=1Kh(t tj),其中K(t)=(15/16)(1 t2)2I(|t|6 1),Kh(t)=K(th).取h=n1/2(log n)1/2,q=n5/25,p=n6/25,名义置信水平1 =0.95.利用这些模拟样本,计算出1000次BELCI和ELCI置信区间中包含真值的覆盖率,所得结果见表1.第 4 期黄玉等：NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断943表表表1BELCI和ELCI的覆盖率nBELCIELCI3000.9020.8874000.9150.9085000.9230.9126000.9280.9197000.9320.923模拟结果表明,置信区间的覆盖率随着样本容量的增加逐步接近名义置信水平0.95.同时在相同的样本容量下,BELCI比ELCI有更精确的覆盖率,因此运用分块技术的经验似然优于不运用分块技术的经验似然.4.引理及主要结果的证明用C表示与n不相关的正实数,它每次的出现可能代表不同的值.为了证明本文的主要结果,下面给出本文需要的引理.引理4.123假设i,1 6 i 6 n是NA随机变量序列,并满足Ei=0,E|i|s 1),且ai,i 1是一个实数列.则存在常数C(与所给的s有关)使得E|ni=1aii|s6 Cni=1E|aii|s,1 2.引理4.2假设A1,A2是两个无公共元素的整数子集,且i,j A1 A2是NA随机变量序列.函数g1:Rn1 R和g2:Rn2 R的偏导数存在且有界,用g/ti表示的偏导数g的上确界.则有|Covg1(i,i A1),g2(j,j A2)|6iA1iA2g1/tig2/tj|Cov(1,2)|,其中nj表示Aj(j=1,2)中元素的个数.证见文24的引理1和文25的引理3.5的证明.引理4.3若假设条件(A1)到(A3)都满足,则当n 时有ni=1e xie gi=o(n1/2),(4.1)ni=1e xii=o(n1/2),(4.2)其中e gi=g(ti)nj=1Wnj(ti)g(tj)和i=nj=1Wnj(ti)j.证根据假设条件(A1)(iii)和(A2),我们有max16i6n|e gi|=o(n1/2).对任意给定的l Rr且l=1,有E|lT1/2nni=1e xie gi|26 Cni=1E|lT1/2ne xie gi|26 Cn(lT1/2nl)2max16i6n|e gi|26 Cn10.944应用数学2023同理可证E|lT1/2nni=1e xii|2=E|lT1/2nni=1e xinj=1Wnj(ti)j|26Cni=1E|lT1/2ne xinj=1Wnj(ti)j|26 Cn(lT1/2nl)2max16i6nWnj(ti)26 Cn10,得(4.1)和(4.2),故引理4.3证毕.引理4.4若假设条件(A1)到(A3)都满足,且任意给定的l Rr满足l=1,则当n 时有0 lTnl/n ,(4.3)1/2nni=1e xi(e yi e xTi)d Nr(0,Ir),(4.4)其中n=Cov(ni=1e xi(e yi e xTi).证注意到lTnl/n=VarlTni=1e xi(e yi e xTi)/n=lTE2(x)xxTl+2n1i=1(1 in)Cov(U1,Ui+1),其中2(x)=Var(|x),Ui=lTe xi(e yi e xTi).由引理4.2,当x 6 r,y 6 r时,有Cov(U1,Us+1)6Cr2di=1dj=1|Cov(x1i,xs+1,j)|+di=1|Cov(y1,xs+1,i)|+di=1|Cov(x1i,ys+1)|+|Cov(y1,ys+1)|.根据假设条件(A1)(ii),且s=1Cov(U1,Us+1),我们得(4.3).显然ni=1e xi(e yi e xTi)=ni=1e xii+ni=1e xig(ti)nj=1Wnj(ti)g(tj)ni=1e xinj=1Wnj(ti)j.为了证明(4.4),只需证明,对任意给定的l Rr且l=1,有lT1/2nni=1e xiid N(0,1),(4.5)lT1/2nni=1e xig(ti)nj=1Wnj(ti)g(tj)=o(1),(4.6)和lT1/2nni=1e xinj=1Wnj(ti)j=op(1).(4.7)由引理4.3,我们证得(4.6)和(4.7),现在只需证明(4.5).记Sn=1/2nni=1e xii,我们将lTSn拆分成三部分lTSn=lTSn+lTSn+lTSn,其中第 4 期黄玉等：NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断945Sn=1/2nkm=1e enm,Sn=1/2nkm=1e enm,Sn=1/2ne en,k+1,其中e enm=rm+p1i=rme xii,e enm=lm+q1i=lme xii,e en,k+1=ni=k(p+q)+1e xii和rm=(m 1)(p+q)+1,lm=(m 1)(p+q)+p+1,m=1,2,k.为了证明(4.5),只需证明lTSnd N(0,1),(4.8)lTSn=op(1),(4.9)lTSn=op(1).(4.10)作为准备,我们首先证明s2n1,(4.11)其中s2n=km=1Var(lT1/2ne enm).记vi=lT1/2ne xi(e yi e xTi),根据引理4.1和(4.3),得E(lTSn)26 Ckm=1lm+q1i=lmE(v2i)=CkqlT1/2nE2(x)xxT1/2nl6 Ckqn10.同理可证E(lTSn)26 Cn k(p+q)n16 Cpn10.(4.12)注意到Var(lTSn)=1和lTSn=lTSn+lTSn+lTSn.可得E(lTSn)21.(4.13)由平稳性和文25的引理3.2的证明,我们得|16ij6kCov(lTe eni,lTe enj)|=k1s=1(k s)|Cov(lTe en1,lTe en,s+1)|6kk1s=1|Cov(lTe en1,lTe en,s+1)|6 kpk1s=1s(p+q)+pr=s(p+q)p|Cov(lT1/2ne e1,lT1/2ne er+1)|.根据引理4.2和(4.3),可证得|16ij6kCov(lTe eni,lTe enj)|6Ckpn1k1s=1s(p+q)+pr=s(p+q)pdi=1dj=1|Cov(x1i,xr+1,j)|+di=1|Cov(y1,xr+1,i)|+di=1|Cov(x1i,yr+1)|+|Cov(y1,yr+1)|6Ckpn1r=pdi=1dj=1|Cov(x1i,xr+1,j)|+di=1|Cov(y1,xr+1,i)|946应用数学2023+di=1|Cov(x1i,yr+1)|+|Cov(y1,yr+1)|0.(4.14)再由(4.13)和(4.14)得s2n=E(lTSn)216ij6kCov(lTe eni,lTe enj)1,因此证得(4.11).根据引理4.2和平稳性,可得|EeitlTSnkm=1EeitlTe enm|6C(kp/n)r2r=pdi=1dj=1|Cov(x1i,xr+1,j)|+di=1|Cov(y1,xr+1,i)|+di=1|Cov(x1i,yr+1)|+|Cov(y1,yr+1)|0,这就证明lT1/2ne enm,1 6 m 6 k的渐进独立性.假设nm,1 6 m 6 k为独立随机变量序列,nm与lTe enm有相同的分布(m=1,2,k).由引理4.3(取p0=3,r0=4+),得km=1E|nm|3=km=1E|lTe enm|36Ckm=1E|rm+p1i=rmlT1/2ne xii|4+km=1E(rm+p1i=rmlT1/2ne xii)226Ckp(lT1nlT)26 Ckpn20.根据Berry-Esseen定理和s2n1,可得km=1nmd N(0,1).(4.15)因此我们证得(4.8).由(4.12)和(4.13),得(4.9)和(4.10).故引理4.4证毕.引理4.5若假设条件(A1)到(A3)都满足,且任意给定的l Rr满足l=1,则当n 时有n=max16i62k+1|ni|=Op(p),(4.16)(2k+1)1/2nd Nr(0,Ir),(4.17)(2k+1)1/2nTn1/2n=Ir+op(1),(4.18)2k+1i=1|lT1/2nni|3=op(1),(4.19)其中=12k+12k+1i=1ni,Tn=12k+12k+1i=1niTni.证注意到e yi e xTi=i+g(ti)nj=1Wnj(ti)g(tj)nj=1Wnj(ti)j.(4.20)第 4 期黄玉等：NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断947由q Cp,n k(p+q)Cp,可得(4.16).而根据引理4.4得(4.17).所以接下来我们只需证明(4.18)和(4.19).我们先证明(4.18).作为准备,我们首先证明(2k+1)1/2neTn1/2n=Ir+op(1),(4.21)其中eTn是类似于Tn在定义中nm()(1 m 2k+1)的e yi e xTi替换为i(1 i n).记(2k+1)1/2neTn1/2n=eTn1+eTn2+eTn3,其中eTn1=km=11/2ne enme eTnm1/2n,eTn2=km=11/2ne enm(e enm)T1/2n,和eTn3=1/2ne en,k+1(e en,k+1)T1/2n.根据引理4.4的证明,我们需要证,对任意给定的l Rr且l=1,有E(2k+1)lT1/2neTn1/2nl=1+o(1).(4.22)我们将证明E|lTeTnjl ElTeTnjl|20,j=1,2,3.(4.23)令Vi=lT1/2ne xi(e yi e xTi),其为关于xi1,x1d和yi的函数.记ui=u+iui,其中u+i和ui分别是ui的正部和负部,1 i k.令i=rm+p1j=rmu+jrm+p1j=rmuj=i1 i2,其中i1=rm+p1j=rmu+j,i1=rm+p1j=rmuj,1 i k.我们首先证明E|eTn1 E(eTn1)|2 0,i.e.,E|km=1(2m E2m)|2 0.(4.24)标记2m=(m1 m2)2=22m1+22m2(m1+m2)2,f1(x)=x2I(x 0)，f2(x)=x2I(x 0).所以f1(m1),1 m k,f2(m1),1 m k,f1(m2),1 m k,f2(m2),1 m k,和f1(m1+m2),1 m k,f2(m1+m2),1 m k都是NA随机变量序列,且2m E2m=2(2m1 E2m1)+2(2m2 E2m2)(m1+m2)E(m1+m2)2=2f1(m1)Ef1(m1)2f2(m1)Ef2(m1)+2f1(m2)Ef1(m2)2f2(m2)Ef2(m2)2f1(m1+m2)Ef1(m1+m2)+2f2(m1+m2)Ef2(m1+m2)由引理4.1和(4.15),可以证明E|km=1f1(m1)Ef1(m1)|2Cki=1rm+p1i=rmE|lT1/2ne xii|4+rm+p1i=rmE(lT1/2ne xii)22Ckp(lT1nlT)2 Ckpn2 0.类似可证E|km=1f2(m1)Ef2(m1)|2 0,E|km=1f1(m2)Ef1(m2)|2 0,948应用数学2023E|km=1f2(m2)Ef2(m2)|2 0,E|km=1f1(m1+m2)Ef1(m1+m2)|2 0,E|km=1f2(m1+m2)Ef2(m1+m2)|2 0,则根据Cr不等式,我们有(4.24).类似可证E|eTn2 EeTn2|2 Ckq2n2 0,和E|eTn3 EeTn3|2 Cn k(p+q)2n1 0,且(2k+1)lT1/2neTn1/2nl E(2k+1)lT1/2neTn1/2nl=op(1),(4.25)因此由(4.22)和(4.25)可推出(4.21).由(4.20)和(4.21),接下来我们为了证得(4.18)需要证明如下：km=1lT1/2nrm+p1i=rme xi(e gi i)2=op(1),(4.26)km=1(lT1/2nrm+p1i=rme xii)lT1/2nrm+p1i=rme xi(e gi i)=op(1),(4.27)km=1lT1/2nlm+q1i=lme xi(e gi i)2=op(1),(4.28)km=1(lT1/2nlm+q1i=lme xii)lT1/2nlm+q1i=lme xi(e gi i)=op(1),(4.29)lT1/2nni=k(p+q)+1e xi(e gi i)2=op(1),(4.30)(lT1/2nni=k(p+q)+1e xii)lT1/2nni=k(p+q)+1e xi(e gi i)=op(1),(4.31)其中e gi=g(ti)nj=1Wnj(ti)g(tj)和i=nj=1Wnj(ti)j.由引理4.4,可得km=1lT1/2nrm+p1i=rme xi(e gi i)26 kn3/2p2(log n)2op(1)=op(1),证得(4.26).因此,根据Cauchy-Schwarz不等式和(4.26),我们证得|km=1(lT1/2nrm+p1i=rme xii)lT1/2nrm+p1i=rme xi(e gi i)|6km=1(lT1/2nrm+p1i=rme xii)21/2km=1lT1/2nrm+p1i=rme xi(e gi i)21/2=km=1(lT1/2nrm+p1i=rme xii)21/2op(1).第 4 期黄玉等：NA样本下随机设计情形部分线性模型的经验似然推断949根据引理4.2和假设条件(A3),可证得km=1E(lT1/2nrm+p1i=rme xii)26 CnklT1/2n1min(n)1/2nl 6 C.还有km=1(lT1/2nrm+p1i=rme xii)2=Op(1).由此证得(4.27).类似我们可证得(4.28)到(4.31).因此证得(4.18).接下来证明(4.19).对任意给定的l Rr且l=1,有2k+1i=1|lT1/2nni|3=km=1|lT1/2ne enm|3+km=1|lT1/2ne enm|3+|lT1/2ne en,k+1|3.(4.32)根据引理4.1得km=1E|lT1/2ne enm|36 Ckpn3/2 0.类似可证km=1E|lT1/2ne enm|36 Ckpn3/2 0,E|lT1/2ne en,k+1|36 Cpn3/2 0,因此得到(4.19),故引理4.5证毕.定理2.1的证明运用引理4.5和文6中定理2.1的证明,本文定理2.1得证.参考文献：1 BLOCK H W,SAVITS T H,SHARKED M.Some concepts of negative dependenceJ.Ann.Probab.,1982,10:765-772.2 JOAG-DEV K,PROSCHAN F.Negative association of random variables with applicationsJ.Ann.Statist.,1983,11:286-295.3 杨善朝,王岳宝.NA样本回归函数估计的强相合性J.应用数学学报,1999,22(4):522-530.4 韦来生.NA样本概率密度函数核估计的合性J.系统科学与数学,2001,21(1):79-87.5 BRAENDEN P,JONASSON J.Negative dependence in samplingJ.Scandinavian Journal of Statis-tics,2012,39(4):830-838.6 QIN Y S,LEI Q Z.Quantile estimation in the presence of auxiliary information under negativelyassociated samplesJ.Communications in Statistics-Theory,2011,40:4289-4307.7 付鸿涛,卢维学,杨世娟.NA样本下随机设计情形线性模型的经验似然推断J.黄山学院学报,2016,18(3):1-6.8 ENGLE R,GRANGER C,RICE J.Nonparametric estimates of the relation between weather andelectricity 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empirical likelihood;Negativelyassociated samples;Confidence region