变静为动求特殊.doc

变"静"为"动"求特殊
陕西省府谷县孤山九年制学校 刘永兵
图形的运动变化,真实地反映了现实世界中数形的变与不变两个方面,从辩证的角度去考察、探索、研究此类问题,是提高学生应变思维能力的重要策略,它是考查学生能力的一种极好题型,把几何图形从静止状态中转化为运动状态,使学生能用运动的观点看问题,加深对图形的认识程度,激发学习兴趣,发挥学生的想象能力,增强发散思维能力。
B
例1：如图1，大小两个同心圆。圆心为O，AB与小圆相切于C，线段长12厘米。求圆环的面积。
B
A
●

O
●
O
A
C
图1
图2

[分析与解]求圆环的面积，常用的方法是用大圆的面积减去小圆的面积。但是题目中没有已知大小圆的半径，解答十分困难。我们不妨换一种思考方法，让静止的图形动起来，使图形由一般变成特殊。即让小圆尽可能缩小，外圆也跟着缩小，但AB的长度始终保持12厘米不变。则图形变成直径为12厘米的圆（如图2），求出圆的面积就是求出原题中圆环的面积。列式为：3.14×(12÷2)2=113.04（平方厘米）。
例2：如图两半圆中，大圆的弦与小圆相切，且AB∥CD，AB=4厘米，求阴影部分的面积。
O
●

O
图1
图2
图3
O
●

●

●

●

●

C
D
B
A
A
B
C
D
A
B
r

分析：在（图1）中较难发现两半径与已知AB的关系。若将静止的小圆移动，使两半圆的圆心重合，转化为如（图2）所示，阴影部分的面积并未改变，则S阴=π（R2－r2）=π（）2=2π（平方厘米）。这种解法能激发你的学习兴趣,那下种解法能使你兴奋。让小半圆尽可能缩小，外半圆也跟着缩小，但AB的长度始终保持4厘米不变；则图形变成直径为4厘米的半圆（如图3）。求出半圆的面积就是求出原题中阴影部分的面积。S阴=π（）2=2π（平方厘米），这才叫变“静”为“动”求特殊啊！
例3：两个边长为a的相同正方形，其中一个正方形的顶点是另一个的中心，求两正方形重叠部分的面积。
分析：如图a，由于正方形可以旋转，图形放置的任意性和不确定性，使我们可能一时看不出重叠面积的求法，这时，让图形运动变为特殊情况（如图b），这时，显然两正方形和的重叠部分的面积是。

图（a） 图(b)
图a、图b，两种状态作一比较容易得出两种求法：
①因为将正方形旋转到位置后，转过的两个直角三角形全等，所以，一般位置下的和的重叠部分面积仍为。
②图b，这一特殊位置下的求解，表明过正方形的中心的两条垂直直线将分成完全相同的四部分，那么这两条垂直直线绕着中心旋转即任一状态下结论仍然成立。
例4：如图，在直径为6厘米的半圆CD上有两点A、B，弦CB、DA相交于点P，则CP·CB+DP·DA的值为（　　）。
O
●

图1
●

●

C
D
B
A
P
●

C
D
●

图2
A
B
P

分析：本题让A、B两点在半圆上运动，使点A、B在半圆上重合时，点P也与A、B重合，此时构成直角三角形。于是CP·CB+DP·DA的值很容易计算得36。
C
D
图a
A
B
●

●

图b
例5：如（图a）已知正方形ABCD边长为4厘米，计算阴影部分的面积。

分析：本题的解法是：用直径为4厘米的半圆面积减去边长为2厘米的正方形面积就可以了。如图b很容易看出两个扇形重叠部分是阴影部分的面积，两个扇形面积之和恰好是一个直径为4厘米的半圆面积，减去边长为2厘米正方形的面积正是例5所求阴影部分的面积。
即：S阴=π（）2－4=2π－4（平方厘米）。
有许多数学问题，在一般情况下成立的结论，在特殊情况下也必然成立，变“静”为“动”求特殊的解题法较常规解法快捷方便；从静止状态中转化为运动状态,使学生能用运动的观点看问题,激发学习兴趣,发挥想象能力,增强思维能力，培养解题能力。

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