穷则思思则变变则通.pdf

6 6数学教学研究第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月穷则思，思则变，变则通孙东杰(甘肃省玉门市第一中学7 3 5 2 1 1)古人云：穷则思，思则变，变则通意思是：当事物发展到极点的时候，便想到要加以变化，以求通达后多指人在困境时就会设法改变现状以求发展可见，变通在人生道路上何其重要数学解题也如此，面对数学题目分析困难，解答受挫，计算难以进行时，只有通过努力思考，反复变通题意，抓住问题本质，从中探究方法，方能帮助理解并解决问题下面案例阐明变通在解题中的作用1 题目1(2 0 1 1 年高考陕西理1 0 题)甲乙两人一起去游“2 0 1 1 西安世园会”，他们约定，各自独立地从1 到6 号景点中任选4 个进行游览，每个景点参观1 小时，则最后1 小时他们同在一个景点的概率是()11C1(A)壶(B)言(c)盖(D)言1 1 师生交流过程学生思路：该问题如同抛骰子，将两颗骰子一次抛出，则点数相同的概率即为本题最后1 小时他们同在一个景点的概率，即P=1，故选D U教师质疑：(担心学生没理解题意)题目意思是每次各自独立地从1 到6 号景点中任选4 个进行游览，首先游览4 个景点，其次4个景点不重复，而抛骰子只进行了一次，被认为是最后1 小时游览景点的情形，忽视了前3 次游览情况学生解释：前3 景点游览与否与结果没有关系，起决定作用的只有第4 景点，如同抛骰子，前3 次抛与未抛都一样，自己仍然觉得p=1 6 教师问道：模拟抛骰子中，前3 次抛了么?若抛了，前3 次产生结果是否对第4 次结果有影响?若出现“1 2 3 1”的情形，将如何看待?此时，学生沉默，好像无力争辩，接下来教师给出正确答案P=等会皆一吉，为了使问题得到充分理解，不假思索的给出以下问题：问题1 若从1 到6 号景点中任选3 个进行游览，每个景点参观l 小时，则最后1 小时他们同在一个景点的概率是?问题2 任选5 个进行游览呢?通过计算，面对选择3，4，5 个景点游览而最终概率一致的情况，学生有种肯定自己起初时的认识与立场，还有种将题目推广开来，看看一般情形的冲动，在教师的鼓励下，学生发现以下推广1 2 问题推广甲乙两人各自独立地从1 到竹号景点中任选m 个进行游览，每个景点参观1 小时，则最后1 小时他们同在一个景点的概率是P=吣氏：n 此时，学生起初的想法与简单结论在脑海中回荡，不断促使对两种过程沟通融合，经仔细揣摩，对推广有新的理解：先让甲在，z 号景点中任选m 处游览，记最后一次游览为景万方数据第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月数学教学研究6 7点a，乙最后1 小时在景点口处游览，其概率为土咒1 3 对学生模拟抛骰子解题答案的过程改进及“说谎式”变通和学生相互探讨中，对该题目有了以下共识：因为甲乙相互独立，所以甲先抛骰子，第1 次抛得结果记为a。，第2 次抛得结果若为a，则重新抛骰子，否则记为口：，第3 次抛得结果若为a。或a：则重新抛，否则记为a。，同理第4 次抛得结果记为a。乙后抛骰子，前3 次抛得口。或出现重复结果则取消，直到第4 次抛得a。时，才视为甲乙最后1 小时同1在一景点，概率为o此时，感觉该解答不具说服力，于是在困惑中思考，思考中变通，得到以下学生更易接受和理解的“说谎”式变通过程：问题3游览中，甲由于碰见一位朋友耽误1 小时，于是在游览中为了赶时问将第1，2 景点的时间各压缩半小时，最后在同一景点的概率是?问题4游览中，甲由于碰见一位朋友耽误两小时，于是在游览过程中在要去的第1，2 景点门口拍照后便去第3，4 景点游览最后在同一景点的概率是?问题5游览中，甲碰见几位要好的朋友聊天，发现时已过4 小时，此时甲直奔某一景点，而随机说谎称游览4 景点，最后在同一景点的概率是?问题6游览中，甲由于耽误4 小时而说谎称已游览4 景点，将最后游览景点电话告知老师后，问老师甲和乙在同景点的概率是多少?问题7游览中，甲乙都说谎称游览4景区，甲电话告知老师并问老师甲乙最后在同一景点的概率是多少(乙没有告知老师)?通过以上问题3 至问题7 对题目逐渐进行“说谎式”变通，学生发现问题本身没有改变而面对问题的解答与理解则渐进渐深，问题3 问题4 只是压缩了游览时间，而问题5随机说谎称游览4 景点，没改变题目l 的本质，特别是问题6 说谎称游览4 景点，但只告诉老师最后游览的景点，若老师问前3 处游览哪里?甲还可以随机说谎问题7 对老师来说解答直观简洁从问题3 到问题7 的变通，即逐渐走向学生易于理解又不失题目本质，值得回味与思考2 题目2甲乙两人分别有两红一白3 面旗子，各自独立的挂在自己旗杆的上中下位置，以旗子颜色顺序相同表示相同信号，则相同信号的概率是多少?学生解答：P 一秀b 2 寺其3 指白色旗子的位置上中下3 种2 1在“红绿色盲式”变通中更正题解问题1甲乙两人分别有红绿白3 面旗子，各自独立的挂在自己旗杆的上中下位置，以旗子颜色顺序相同表示相同信号，则相同信号的概率是多少?学生解答：P=旦A 3 A 3 一吉问题2甲乙两人分别有红绿白3 面旗子，各自独立的挂在自己旗杆的上中下位置，以白色旗子颜色顺序相同表示相同信号，则相同信号的概率是多少?学生解答：P=糕一丢问题3 若问题1 中甲乙为红绿色盲，则甲乙观察信号相同的概率是多少?学生解答：P 一躐一丢在以上问题解答的背景下，教师引导学生将题目2 与问题进行沟通，此时，学生才恍万方数据然大悟，发现题目2 解错了，原来题目2 中两面红旗(其实为一面红旗，一面绿旗)，是因为甲乙都为“红绿色盲”而已肯定了题目2 与问题2，3 一致后，题目2 的解答错在哪里呢?(由于时间原因，探讨中断，让学生接着反思与总结)2 2 学生写给老师的总结信老师，您好：您对该题的引导解答，我对以下两个方面有了深刻的认识：首先觉得变通题意是解决问题的有利法宝，每当解题遇到困难时，要学会思考变通题目，正如您所说“穷则思，思则变，变则通”其次，该问题初次解答为什么错了呢?经过对比问题1，2，3后，发现对古典概型中基本事件的认识不到位，错误的理解为“不同结果”对应的事件为“基本事件”，而忽视了基本事件的概念特征每个基本事件发生的可能性是相等的问题2 中甲乙各有两面红旗，但这两面红旗虽然颜色形同，但毕竟是不一样的，因此两面红旗的挂法是有顺序的，不同顺序的挂法代表不同的基本事件，若将红色旗子不加以区分，可能导致基本事件的概率不相等，不能用古典概型计算事件发生的概率像这样的概念性问题，在以后的解题中我应努力做到回归概念，严把概念关(收稿日期：2 0 1 3 1 2 2 8)放学殷亏研究2 0 1 4 年9 月第3 3 卷第9 期(总第2 6 5 期)(月刊，公开发行，1 9 8 2 年创刊)删删f I 09 I 鸲：紧喾揣定价：勰万方数据